2023学年完整公开课版511任意角

511任意角第五章51任意角和弧度制知识点一任意角1角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的2角的表示：如图，OA是角α的，OB是角α的，O是角α的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”射线旋转图形始边终边顶点思考角的概念中主要包含哪些要素？答案角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边3角的分类：名称定义图示正角按

方向旋转形成的角

负角按

方向旋转形成的角

零角一条射线

作任何旋转形成的角

逆时针顺时针没有知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，为角α的相反角1α＋β：把角α的旋转角β2α－β：α－β＝－α终边α＋－β知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限原点终边象限角坐标轴上思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝__________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和{β|β＝α＋·360°，∈}思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU1第二象限角是钝角2终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同3终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍×√√例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角其中正确的结论为______填序号一、任意角的概念②解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A120° B－120° C－60° D60°√二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为·360°＋α∈,0°≤α<360°的形式，并指出是第几象限角1420°；2－510°；31020°解420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角2－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角31020°解1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角反思感悟首先把各角写成·360°＋α∈,0°≤α<360°的形式，然后只需判断α所在的象限即可跟踪训练21在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为A0 B1 C2 D3√2与－460°角终边相同的角可以表示成A460°＋·360°，∈ B100°＋·360°，∈C260°＋·360°，∈ D－260°＋·360°，∈√解析因为－460°＝260°＋－2×360°，故－460°可以表示成260°＋·360°，∈，故选C解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋·180°，∈}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋·180°，∈}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋·180°≤α<105°＋·180°，∈}三、区域角的表示例3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围反思感悟表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{|α<<β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合跟踪训练3如图所示，写出顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合解如题图1所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{|＝75°＋·360°，∈}，S2＝{|＝－30°＋·360°，∈}∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|·360°－30°≤θ≤·360°＋75°，∈}如题图2所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋·360°≤θ≤135°＋·360°，∈}核心素养之逻辑推理HEINSUYANGHILUOJITUILI确定nα及

所在的象限典例已知α是第二象限角，求角

所在的象限.延伸探究1在本例条件下，求角2α的终边的位置2.若本例条件中角α变为第三象限角，求角

是第几象限角.解方法一∵α是第二象限角，∴·360°＋90°<α<·360°＋180°∈当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得方法二如图，先将各象限分成2等份，再从轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，延伸探究1在本例条件下，求角2α的终边的位置解∵α是第二象限角，∴·360°＋90°<α<·360°＋180°∈∴·720°＋180°<2α<·720°＋360°∈∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上2.若本例条件中角α变为第三象限角，求角

是第几象限角.解如图所示，先将各象限分成2等份，再从轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，素养提升分类讨论时要对的取值分以下几种情况进行讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2，…，被n除余n－1然后方可下结论几何法依据数形结合，简单直观通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养课堂小结ETANGIAOJIE1知识清单：1任意角的概念2终边相同的角与象限角3区域角的表示2方法归纳：数形结合，分类讨论3常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉∈3随堂演练PARTTHREE123451与－30°终边相同的角是A－330° B150° C30° D330°√解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝·360°＋－30°，∈，取＝1，得α＝330°123452－240°是A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角√解析因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角134523下列说法正确的是A锐角是第一象限角 B第二象限角是钝角C第一象限角是锐角 D第四象限角是负角√解析由于锐角范围是0°<α<90°，显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角134524终边与坐标轴重合的角α的集合是A{α|α＝·360°，∈} B{α|α＝·180°＋90°，∈}C{α|α＝·180°，∈} D{α|α＝·90°，∈}√解析终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的