G2203数学熊慧第二章25指数与指数函数

§25指数与指数函数大一轮复习讲义知识梳理1、根式的概念符号表示备注如果，那么叫做的n次方根

当n是奇数时，正数的n次方根是一个负数的n次方根是一个零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为

负数没有偶次方根正数负数相反数3分数指数幂＝a>0，m，n∈N*，且n>1；＝a>0，m，n∈N*，且n>1；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义4有理数指数幂的运算性质：aras＝，ars＝，abr＝，其中a>0，b>0，r，s∈Qar＋sarsarbry＝axa>10<a<1图象

定义域(1)____值域(2)_________性质(3)过定点_____(4)当x>0时，

；当x<0时，_______(5)当x>0时，

；当x<0时，_____(6)在(－∞，＋∞)上是________(7)在(－∞，＋∞)上是_______5指数函数的图象与性质R0，＋∞0,1y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数定点单调性渐近线＝aa>0，a≠1的图象和性质说明a>1a>0，a≠1的解集是否与a的取值有关1如图所示是指数函数1y＝a，2y＝b，3y＝c，4y＝d的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为概念方法微思考提示当a>1时，a>1的解集为{|>0}；当0<a<1时，a>1的解集为{|<0}c>d>1>a>b>0指数函数在第一象限的图象：底大图象高1判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”基础自测题组一思考辨析××√×3函数y＝3·2与y＝2＋1都不是指数函数4若am<ana>0，且a≠1，则m<n题组二教材改编－22y＝aa>0，a≠1在上的最大值比最小值大，则a的值为________题组三易错自纠①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，不可能成立的是________③④综上可知，③④不可能成立典题深度剖析重点多维探究题型突破指数幂的运算题型一自主演练1、解析原式＝2×622019·沧州七校联考a>0，b>0＝______==解析由＝3，两边平方，得＋－1＝7，再平方得2＋－2＝47∴2＋－2－2＝45－1＋－1＝3×7－1＝183若＝3，则＝______1指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数思维升华SIWEISHENGHUA指数函数的图象及应用题型二师生共研例11定义运算a*b＝则函数f＝1*2的图象是√解析因为当<0时，1>2；当≥0时，1≤2解析作出函数f＝|2－1|的图象，如图，∵a<b<c且fa>fc>fb，结合图象知，0<fa<1，a<0，c>0，∴0<2a<1∴fa＝|2a－1|＝1－2a，∴fc<1，∴0<c<1∴1<2c<2，∴fc＝|2c－1|＝2c－1，又∵fa>fc，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D2已知函数f＝|2－1|，a<b<c且fa>fc>fb，则下列结论中，一定成立的是Aa<0，b<0，c<0 Ba<0，b≥0，c>0C2－a<2c ＋2c<2√1已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除2对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练11函数y＝a||a>1的图象是√解析函数y＝a||a>1是偶函数，当≥0时，y＝a，又已知a>1，故选B则b的取值范围是0,10,13若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________

§25指数与指数函数（二）大一轮复习讲义＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________c<b<a∴，即a>b>1，又c＝＝1，∴c<b<a基础自测命题点1比较指数式的大小多维探究题型三指数函数的性质及应用指数式比较大小常见方法：（1）利用同底的单调性；（2）图象法；（3）中间量（常用0,1）例212020·黄冈模拟已知a＝，b＝，c＝，则下列关系中正确的是Ac<a<b Bb<a<cCa<c<b Da<b<c指数函数的性质及应用题型三多维探究√所以<<，即b<a<c命题点1比较指数式的大小2已知0<a<b<1，则A>1－ab B1－ab>C1＋aa>1＋bb D1－aa>1－bb解析∵y＝1－a是减函数，∴1－aa>1－ab，又y＝b在0，＋∞上是增函数，1－a>1－b，∴1－ab>1－bb，∴1－aa>1－bbD对，其余皆错√指数式比较大小常见方法：（1）利用同底的单调性；（2）图象法（指数函数和幂函数）；（3）中间量（常用0,1，可构造同底异幂或同幂异底的指数式）例31已知实数a≠1，函数f＝若f1－a＝fa－1，则a的值为______命题点2解简单的指数方程或不等式解简单的指数方程？一般是先将方程两边化成同底的指数；再由指数函数严格的单调性，令指数相等即可。2若偶函数f满足f＝2－4≥0，则不等式f－2>0的解集为____________法二∵f为偶函数，f在[0，＋∞上递增，且f2＝0，∴f－2>0等价于∴|－2|>2，解得>4或<0{|>4或<0}法一：解简单的指数不等式？一般是先将不等式两边化成同底的指数，再由单调性，将指数不等式转化为简单不等式，注：当底数不确定时，要分情况讨论。∴函数f＝的减区间即为函数u＝－2＋2＋1的增区间又u＝－2＋2＋1的增区间为－∞，1]，∴f的减区间为－∞，1]例41函数f＝的单调减区间为___________命题点3指数函数性质的综合应用－∞，1]解析设u＝－2＋2＋1，引申探究：函数f＝的值域为___________2已知函数f＝2|2－m|m为常数，若f在区间[2，＋∞上单调递增，则m的取值范围是___________解析令t＝|2－m|，－∞，4]而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f＝2|2－m|在[2，＋∞上单调递增，所以m的取值范围是－∞，4]引申探究1函数f＝4－2＋1的值域是_____________[－1，＋∞解析设t＝2t>0，则y＝t2－2t＝t－12－1t>0当t＝1时，ymin＝－1，无最大值∴函数f＝4－2＋1的值域为[－1，＋∞引申探究2若函数f＝有最大值3，则a＝______1由于f有最大值3，所以h应有最小值－1，即当f有最大值3时，a的值为11利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；2求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练212020·蚌埠质检已知0<a<b<1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是

同理可得，ba>bb，解析∵0<a<1，a－b<0，∴ba>aa，即ba最大√A－∞，2] B√所以f在－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞[－3,0所以实数a的取值范围是[－3,0解析当0≤≤4时，f∈，题组二教材改编－22y课时精练基础保分练>0，则下列等式成立的是√对于C，－20＝1，故C错误；1234567891011121314151622019·北京大兴区期末下列函数中值域为正实数集的是√12345678910111213141516＝086075，b＝086085，c＝13086，则a，b，c的大小关系是Aa>b>c Bb>a>cCc>b>a Dc>a>b√12345678910111213141516解析∵函数y＝上是减函数，∴0<086085<086075<1，又13086>1，∴c>a>b，b∈0,1∪1，＋∞，当>0时，1<b<a，则A0<b<a<1 B0<a<b<1C1<b<a D1<a<b√解析∵当>0时，1<b，∴b>112345678910111213141516＝的图象大致是√解析易知函数f为偶函数，因此排除A，B；又因为f＝>0，故排除D，因此选C123456789101112131415166多选下列函数中在区间0,1内单调递减的是Ay＝ By＝21－Cy＝ln＋1 Dy＝|1－|12345678910111213141516√√解析A项，y＝

在(0,1)内单调递增，C项，y＝ln＋1单调递增，123456789101112131415167多选设函数f＝2，对于任意的1，21≠2，下列命题中正确的是Af1＋2＝f1·f2 Bf1·2＝f1＋f2√√√12345678910111213141516解析，所以A成立，，所以B不成立，函数f＝2，在R上是单调递增函数，可知f＝2的图象满足条件，故D正确12345678910111213141516的定义域为R 的值域为0，＋∞＝有且只有一个实根 的图象是中心对称图形√√√12345678910111213141516因为y＝4在定义域内单调递增，所以方程f＝只有一个实根，所以B不正确，C正确；1234567891011121314151612345678910111213141516∈－∞，－1]时，不等式m2－m·4－2<0恒成立，则实数m的取值范围是________－1,2解∵－4－2＋1＋3≥0，即22＋2·2－3≤0令t＝2>0，∴t2＋2t－3≤0，∴t－1t＋3≤0，∴0<t≤1∴2≤1∴≤0∴函数f的定义域为－∞，0]令y＝－t2－2t＋3＝－t＋12＋40<t≤1对称轴t＝－1∴函数y在0,1]上单调递减1234567891011121314151612345678910111213141516＝b·a其中a，b为常量，且a>0，a≠1的图象经过点A1,6，B3,241求f的表达式；解因为f的图象过A1,6，B3,24，又a>0，所以a＝2，b＝＝3·2解由1知a＝2，b＝3，12345678910111213141516技能提升练12345678910111213141516∈时，a<2a>0，且a≠1，则实数a的取值范围是√解析∈时，a<2a>0，且a≠1若a>1，y＝a是增函数，若0<a<1，y＝a是减函数，12345678910111213141516＝2|＋a|a∈R满足f1－＝f1＋，f在区间上的最大值记为fma，最小值记为fmin，若fma－fmin＝3，则n－m的取值范围是________拓展冲刺练123456789101112131415160,4]12345678910111213141516解析因为f1－＝f1＋，所以f的图象关于直线＝1对