悬索桥空间主缆恒载线形的迭代计算分析

悬索桥空间主缆恒载线形的迭代计算分析

采用空间主框架体系的悬索桥，通过空间主框架和悬索，形成三维线网链体系，认为可以提高悬索桥的横向刚性和抗扭转性能。已经在国内外进行了研究。在中国，关于二维悬索桥的结构计算有一些文献。与二维主轴的计算相比，对三维主轴的分析相对较少。在文献中，主杆被认为是倾斜的。事实上，对于空间电缆的来说，在重量的作用下，主杆不能位于一个倾斜的位置。在永宗桥的背景下，采用两种计算模型，通过空间电缆的自锚悬索桥的自毁向上提升。在动态支架上，为了获得主电缆和悬索的张力长度，需要进行弹性悬索分析。然后，根据弹性悬索的分析公式计算主电缆和悬索之间的张力长度，然后再计算主电缆和悬索之间的张力长度。然后，在基于线性差分分析的情况下，计算主电缆和悬索之间的张力长度，然后再进行调整。当每个节点的位移小于允许误差时，假设当前状态是主电缆的平衡状态，并且主电缆和悬索之间的张力长度是理想值。否则，根据变形后的节点位置，计算每个节点的主电缆和梁的张力长度，然后替换佳远子网络中的其他频率。同一方法用于分析天津富海大桥。在文献中，将三角帆的提升段简化为二维问题，考虑到几何边界条件的平衡和倾斜钩子的影响，采用梯度迭代法，将三角帆的动态轨迹划分为两个平面，考虑了几何边界条件和倾斜钩的影响，引入梯度迭代法，并将三角帆的探测过程划分为不同的平面。对于悬索桥的主电缆，必须进行点矩阵迭代计算和分析，然后对主电缆进行调整计算和分析。1空间主节点桥的线性分析1.1悬索桥主缆主缆的稳定性为了计算成桥状态下主缆在吊索力作用下的线形,可以将主缆按主、散索鞍的理论交点分为几个独立的部分,分别计算各部分的线形及索端的水平、竖向力.每段主缆满足以下基本假定:①索材料在弹性阶段工作,满足虎克定律;②满足小应变假设,即索材料的应变是微小的,这样就无需考虑截面变化的影响;③索是理想柔性的,只能承受拉力,不能承受压力和弯曲;④主缆张力沿顺桥向分量在全跨相同.成桥状态下的主缆力学模型见图1.图1中,F1为该段索的i节点受到的Cartesian坐标x方向的作用力;F2为该段索的i节点受到的Cartesian坐标y方向的作用力;F3为该段索的i节点受到的Cartesian坐标z方向的作用力.文中所涉及变量的正方向见图1.对于索形计算,索的初始状态是有应力状态,其变形已经完成,因此主缆在计算过程中不伸长.通过推导,可得到索中Lagrangian坐标s处的相对于i节点的Cartesian坐标(x(s),y(s),z(s)),即x(s)=F1w{ln[-F3+ws+(F21+F22+(-F3+ws)2)1/2]}-F1w{ln[-F3+(F21+F22+F23)1/2]}(1)y(s)=F2w{ln[-F3+ws+(F21+F22+(-F3+ws)2)1/2]}-F1w{ln[-F3+(F21+F22+F23)1/2]}(2)z(s)=1w{(F21+F22+F23)1/2}-1w{(F21+F22+(-F3+ws)2)1/2}(3)式中,w为主缆恒载集度.式(1)、(2)和(3)中代入j节点的Lagrangian坐标L0,可以求得j节点相对于i节点的Cartesian坐标(x(L0),y(L0),z(L0)),即图1中的(lx,ly,lz).悬索桥索形力学模型见图2.图2中,ˉF1为鞍座处受到的Cartesian坐标x方向的作用力;ˉF2为鞍座处受到的i节点受到的Cartesian坐标y方向的作用力;ˉF3为鞍座处受到的i节点受到的Cartesian坐标z方向的作用力.Fxi为第i段索的i节点受到的Cartesian坐标x方向的作用力;Fyi为第i段索的i节点受到的Cartesian坐标y方向的作用力;Fzi为第i段索的i节点受到的Cartesian坐标z方向的作用力;Pyi为第i根吊杆的张力在y轴的投影;Pzi为第i根吊杆的张力在z轴的投影;n为吊杆数量.索形计算时需初拟一个索形,得到鞍座点处的ˉF1,ˉF2和ˉF3数值.根据图2可以得到主缆的平衡方程,即Fxi=ˉF1i=0,n(4)Fyi+1=Fyii=0Fyi+1=Fyi-Ρyii=1,nFy0=ˉF2}(5)Fzi+1=Fzi-wsii=0Fzi+1=Fzi-Ρzi-wsii=1,nFz0=ˉF3}(6)式中,si为第i段索的索长.计算过程中需要确定吊索张力在y轴的投影Pyi和z轴的投影Pzi,实际计算时根据索的初形可以定出主缆每个节点的空间坐标.y-z平面上的平衡见图3.图3中,(y¯i,z¯i)为主缆第i段索i节点坐标,该值根据初拟索形可得到;(y¯gi,z¯gi)为第i根吊杆在加劲梁上的锚固点坐标,该值由桥梁设计资料提供;hi为第i根吊杆长度.根据图3,可以得到下列平衡方程:Ρiy=Ρi(y¯gi-y¯ihi),Ρiz=Ρi(z¯gi-z¯ihi)i=1,n(7)式中,Pi为吊杆力.根据设计已知条件,计算时应该满足以下3个几何边界条件:∑i=1mlzi=C‚∑i=1nlzi=A,∑i=1nlyi=B(8)式中,m为索鞍到设计变量C位置处的吊杆数.1.2求解误差限值计算分析过程中,主缆恒载集度w、吊杆间距lxi、跨中x-z平面内的设计变量A,B以及x-y平面内的设计变量C已知.根据索的初形可以得到鞍座点处的F¯1,F¯2和F¯3.实际计算时,由式(8)组成下列方程组:f1=∑i=1mlzi-C=0f2=∑i=1nlzi-A=0f3=∑i=1nlyi-B=0}(9)为了求解非线性方程组(9),本文选取梯度法求解.设鞍座点处的作用力为F1,F2和F3.设目标函数为φ=φ(F1,F2,F3)=∑i=13fi2(10)则梯度法的计算过程如下:1)根据初定的鞍座点处的F¯1,F¯2和F¯3数值确定初值F1,F2和F3,即F1=F¯1‚F2=F¯2‚F3=F¯3(11)2)计算目标函数值φ=φ(F1,F2,F3)=∑i=13fi23)令向量F={F1,F2,F3}T,设求解误差限值为ε.若φ<ε,则F即为方程组的一组解,求解结束;否则求解继续.4)计算目标函数在(F1,F2,F3)处的偏导数∂φ∂Fi=2∑j=13fj∂fj∂Fii=1,2,3(12)由于式(12)中的偏导数的显式过于复杂,本文求解时采用数值计算方法,∂f1∂F1的求解可令F1=F1+1,而F2和F3保持不变,求得f1变化值为∂f1∂F1,其余偏导数的求解与此类似.再计算D=∑j=13(∂φ∂Fi)2(13)5)引入目标函数φ的梯度∇φ=[∂φ∂F1∂φ∂F2∂φ∂F3]Τ计算迭代后的求解向量F=F-λ∇φ(14)式中,λ=φ/D.重复步骤2)～5),直到满足精度要求为止.计算过程中需要确定索长si.由于吊杆间距lxi已知,根据式(1)可得到,即elxiwFix[-Fiz+((Fix)2+(Fiy)2+(Fiz)2)1/2]=-Fiz+wsi+((Fix)2+(Fiy)2+(-Fiz+wsi)2)1/2(15)令α=elxiw/Fxi·[-Fiz+((Fix)2+(Fiy)2+(Fiz)2)1/2](16)将式(16)代入式(15)可得到α2+2α(Fiz-wsi)=(Fix)2+(Fiy)2(17)求解式(17),可得到si=(Fiz+φ)/w(18)式中,φ=[α2-(Fix)2-(Fiy)2]/(2α).6)根据求得的鞍座点处的真实力向量F,基于式(1)～(3),可得到各段主缆j节点相对于i节点的Cartesian坐标(lxi,lyi,lzi).则三维主缆恒载作用下各节点的Cartesian坐标可表示为xi=∑k=0ilxk‚yi=∑k=0ilyk,zi=∑k=0ilzki=1,n(19)2程序cfd.基于本文提出的分析方法,采用C++语言编制了索的三维恒载线形分析程序CF3D.由3个类组成:矩阵计算类CMatrix、索计算类CShapeFinding和非线性方程组求解类CEquation.程序除了支持梯度法求解方程组外,还支持牛顿迭代法和修正牛顿迭代法计算.3主缆线形密度某桥为主跨260m的四跨连续独塔自锚式悬索桥,跨径布置为80m+190m+260m+80m,主跨及边跨为悬吊结构.计算参数见表1,计算模型参见图4.实际计算时,可将主缆与吊杆相交的各个节点固结,对吊杆设置一个较大的刚度,根据主缆的初形得到各个吊杆的张力.然后采用程序CF3D计算即可得到各个主缆在恒载作用下的线形.算例中共4根主缆.由于对称,计算时取每一跨的一根主缆计算.第2跨主缆的设计变量A=103.979m,B=4.520m,C=62.773m.第3跨主缆的设计变量A=104.652m,B=4.520m,C=73.326m.采用梯度法迭代计算,第2跨主缆经过2762次迭代收敛,第3跨主缆经过2285次迭代收敛.计算时设置误差限值ε=1×10-13,可见本文方法精度完全能满足工程计算要求.图5为迭代误差的变化,1000次迭代后误差很小,接近于0.图5只显示1000次迭代次数内的数据,可以看出误差整体呈下降趋势,但是存在数据振荡的现象.将坐标原点设置在索鞍点处,实际计算得到的第2跨主缆线形数据见表2,括号内数据为设计数据,x坐标指桥梁纵向,y坐标指桥梁横向,z坐标指桥梁竖向.根据表2的数据可得图6.由表2和图6可以看出:经过迭代计算后主缆坐标值与设计值吻合.迭代后的主缆线形平顺.表明本文计算方法无误.实际计算时本文算例为双跨悬索桥,因此本文计算时首先通过计算第1跨的三向作用力,然后以第1跨的三向作用力作为初始值,进行第2跨的索形迭代计算.通过计算得到第1跨索的顺桥向索力为15.02MN,按照该初始值计算第2跨索力,最终迭代出顺桥向的索力为15.27MN.通过比较发现两值之间相差0.17%,由此可见本文方法能够满足不同跨之间的索力平衡.4处理流程及结果直接从三维索的几何方程