上海市浦东区2024届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

上海市浦东区2024届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知二次函数，当时随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和是（）A．3 B．4 C．6 D．82．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm3．将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（）A． B．C． D．4．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．1 B．﹣4 C．3 D．46．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是()A． B． C． D．7．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．98．如图，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象与点A和点B，P和Q在x轴上，且四边形ABPQ为平行四边形，则四边形ABPQ的面积等于（）A．20 B．15 C．10 D．59．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A． B． C．3 D．510．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5 B． C．2 D．11．下列四组、、的线段中，不能组成直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，12．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′＝BB′，A′B′＝2，则AB的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则▲.（用>、<、=填空）．14．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．15．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为．16．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____．17．如图，已知⊙的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标是___________________．18．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；（2）设EK＝2KF，则的值为______．三、解答题（共78分）19．（8分）已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．（1）求∠A的度数．（2）求BD的长．20．（8分）解方程（1）（用配方法）（2）（3）计算：21．（8分）如图，已知△ABC．（1）尺规作图，画出线段AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；（2）设AB的垂直平分线与BA交于点D，与BC交于点E，连结AE．若∠B＝40°，求∠BEA的度数．22．（10分）如图，AC是⊙O的一条直径，AP是⊙O的切线．作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.23．（10分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？24．（10分）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.设,则即：事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数:，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?计算:某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.25．（12分）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．26．先化简，再求值：，其中．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．【题目详解】解：

∵y=-x2+（a-2）x+3，

∴抛物线对称轴为x=，开口向下，

∵当x＞2时y随着x的增大而减小，

∴≤2，解得a≤6，

解关于x的分式方程可得x=，且x≠3，则a≠5，

∵分式方程的解是自然数，

∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，

∴符合条件的整数a为：-1、1、3，

∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，

故选：A．【题目点拨】此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．2、A【解题分析】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：r=cm．故选A．考点：弧长的计算．3、A【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.【题目详解】平移后的抛物线为故答案为A.【题目点拨】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.4、D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【题目详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【题目点拨】本题考查的知识点是中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解此题的关键．5、D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【题目详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，∴a≤4且a≠0，所以a的最大值为4，故选：D．【题目点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.6、A【题目详解】解：列表如下：

-214-2---（1，-2）（4，-2）1（-2，1）---（4，1）4（-2，4）（1，4）---所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足p2-4q≥0的情况有4种，则P（满足方程的根）=故选：A．7、A【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【题目详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=10°，OB=1，∴AO=1，则OP=6，故BP=6-1=1．故选A．【题目点拨】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．8、C【解题分析】分别过A、B作AD、BE垂直x轴，易证，则平行四边形ABPQ的面积等于矩形ADEB的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义分别求得矩形ADOC和矩形BEOC的面积，相加即可求得结果．【题目详解】解：如图，分别过A、B作AD、BE垂直x轴于点D、点E，则四边形ADEB是矩形，易证，∴S矩形ABED，∵点A在反比例函数上，由反比例函数比例系数k的几何意义可得：S矩形ADOC=|k|=3，同理可得：S矩形BEOC=7，∴S矩形ABED=S矩形ADOC+S矩形BEOC=3+7=10，故选：C．【题目点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练运用比例系数k的几何意义是解决本题的关键．9、B【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【题目详解】过点D做DF⊥BC于F，由已知，BC=5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=5，∵BE=3DE，∴设DE=x，则BE=3x，∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2，∴（3x）2+（5-x）2=52，∴解得x=1，∴DE=1，FD=3，设OB=a，则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴1×（a+3）=5a，∴a=，∴点C坐标为（5，）∴k=.故选B．【题目点拨】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．10、C【解题分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【题目详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．【题目点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．11、B【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形三边是否构成直角三角形，依次计算判断得出结论．【题目详解】A.∵，，∴，A选项不符合题意．B.∵，，∴，B选项符合题意．C.∵，，∴，C选项不符合题意．D.∵，∴，D选项不符合题意．故选：B．【题目点拨】本题考查三角形三边能否构成直角三角形，熟练逆用勾股定理是解题关键．12、C【分析】根据位似图形的对应边互相平行列式计算，得到答案．【题目详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴A′B′∥AB，∴△PA′B′∽△PAB，∴＝＝，∴AB＝4，故选：C．【题目点拨】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、＞．【解题分析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y1．14、【解题分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．解：如图所示，在RtABC中，tan∠ACB=，∴BC=，同理：BD=，∵两次测量的影长相差8米，∴=8，∴x=4，故答案为4．“点睛”本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．15、1：1．【解题分析】试题分析：∵△ABC与△DEF的相似比为1：1，∴△ABC与△DEF的周长比为1：1．故答案为1：1．考点：相似三角形的性质．16、1.【解题分析】试题分析：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b．试题解析：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a=4且b=-3，∴a+b=1．考点：关于原点对称的点的坐标．17、或或或【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛物线的解析式中求出横坐标即可．【题目详解】∵⊙的半径为1，∴当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1．当时，，解得，∴此时P的坐标为或；当时，，解得，∴此时P的坐标为或；故答案为：或或或．【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x轴相切找到点P的纵坐标的值是解题的关键．18、x【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．【题目详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，∴AM＝，∵点N是AM的中点，∴AN＝，∵EF⊥AM，∴∠ANE＝90°，∴∠ANE＝∠ABM＝90°，∵∠EAN＝∠MAB，∴△AEN∽△AMB，∴＝，即＝，∴AE＝，故答案为：；（2）解：如图，连接AK、MG、CK，由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，∵EF⊥AM，N为AM中点，∴AK＝MK，∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，∴∠KAB＝∠KMC，∵∠KMB+∠KMC＝180°，∴∠KMB+∠KAB＝180°，又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，∴∠AKM＝90°，在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，∴KN＝AM＝AN，∴＝，∵△AEN∽△AMB，∴＝＝x，∴＝x，故答案为：x．【题目点拨】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN=

AN是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）60°；（2）．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质即可得到结论；（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H根据已知条件得到∠BOD＝120°；求得∠OBD＝∠ODB＝30°，解直角三角形即可得到结论．【题目详解】（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°；（2）连接OB，OD，作OH⊥BD于H∵∠A＝60°，∠BOD＝2∠A，∴∠BOD＝120°；又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∵OH⊥BD于H，在Rt△DOH中，，即，∴，∵OH⊥BD于H，∴.【题目点拨】此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，在圆中求弦长、半径、弦心距三个量中的一个时，通常利用勾股定理与垂径定理进行计算.20、（1），；（2），；（3）【分析】（1）方程整理配方后，开方即可求出解；（2）把方程左边进行因式分解，求方程的解；（3）根据二次根式、特殊角的三角函数值、0次幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．【题目详解】（1），方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（2），，即，∴或，解得：，；（3）．【题目点拨】本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法以及实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的各种解法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．21、（1）见解析；（2）100°【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图法，即可；（2）根据垂直平分线的性质定理，可得AE＝BE，进而即可求出答案．【题目详解】（1）线段AB的垂直平分线如图所示；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝40°，∴∠BEA＝180°﹣∠B﹣∠BAE，＝180°﹣40°﹣40°＝100°．答：∠BEA的度数为100°．【题目点拨】本题主要考查尺规作中垂线以及中垂线的性质定理，掌握中垂线的性质定理是解题的关键．22、(1)见解析；(2)AD＝．【分析】(1)由切线的性质可得∠BAE＋∠MAB＝90°，进而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性质得∠MAB＝∠AMB，继而得到∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边即可得结论；(2)连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得BC=8，证明△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME，，可求得AM＝，再由圆周角定理以及等量代换可得∠D＝∠AMD，继而根据等角对等边即可求得AD＝AM＝.【题目详解】(1)∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2)连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，，即，∴AM＝，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝.【题目点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，准确识图，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.23、（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【题目详解】（1）y=w（x﹣20）=（﹣2x+80）（x﹣20）=﹣2x2+120x﹣1600；（2）y=﹣2（x﹣30）2+1．∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=1．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．【题目点拨】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．24、（1）3；（2）；（3）【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.参照题目中的解题方法进行计算即可.由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值【题目详解】设塔的顶层共有盏灯，由题意得.解得，顶层共有盏灯.设,,即：.即由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为所有项数的和为由题意可知：为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有满足，③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有满足，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解