山西省晋中市上湖中学高三数学文摸底试卷含解析

山西省晋中市上湖中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的反函数是A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.下列结论正确的是(

)A.若向量，则存在唯一的实数使得B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则D.若命题，则参考答案：C【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2若向量，，则存在唯一的实数λ使，故A不正确；

已知向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量,不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，逆命题，可知C正确；

若命题p：?x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，故D不正确．【思路点拨】根据向量共线定理判断A，向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“＜0，且向量,不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，逆命题可判断C；命题p：?x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，可判断D．3.设函数，则满足的x的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.5.执行右面的程序框图，若输入N＝2013，则输出S等于(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：D6.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数经过十步运算得到的数为

()A． B．

C．

D．参考答案：C7.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点.若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为（

）A.

B.

C. D.参考答案：A8.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率.【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有种方法，其中凸数有种方法，则该数为凸数的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型.9.已知,,若，则的值不可能是…………（

）（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

参考答案：D若，则，若，则，因为，所以，所以的值不可能是10，选D.10.已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A． B．1 C． D．2参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】直接利用向量的数量积，化简求解即可．【解答】解：非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，∴2+42﹣4?=1+4||2﹣4||?||cos=1+4||2﹣2||=1，解得||=，故选：A．【点评】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为

.参考答案：12.

抛物线的焦点坐标是

参考答案：答案：

13.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在内的两个零点，则sin（x1+x2）=______．参考答案：

解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]内的两个零点，

可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，

即为2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2，

即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1），

由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．

另解：由对称性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．14.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是

.(结果用最简分数表示)参考答案：3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。15.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市

家．

参考答案：16.在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cosB＝____．参考答案：略17.已知异面直线所成角为60°，直线与均垂直，且垂足分别是点，若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

设函数是定义在，0)∪(0，上的奇函数，当x?，0)时，=.(1)求当x?(0，时，的表达式；(2)若a>-1，判断在(0，上的单调性，并证明你的结论.参考答案：(1)设x?(0，，则，所以f(-x)=，又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x?(0，.

(2)x?(0，时，f(x)=，，x3?(0，，，又a>-1，所以>0，即，所以f(x)在(0，上递增.19.(13分)“5·12”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形(与原方位一样)的汶川人民纪念广场(如右图)，另外△AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，如何设计才能使广场面积最大？并求出此时广场的最大面积。参考答案：建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)又∵＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20，∴S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)∴当m＝5m时，S有最大值，此时＝＝.故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，广场的面积最大．20.多面体，，，，，，，在平面上的射影是线段的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.参考答案：（2）.坐标法或者可以用减去两个锐二面角、的大小，它们的平面角的正切值分别为和.故所求二面角的平面角的余弦值.其中满足.21.已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x＜e时，求导函数，可得f（x）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．22.已知函数，，且的解集为[