福建省福州市蓬歧中学2022年高三数学文下学期摸底试题含解析

福建省福州市蓬歧中学2022年高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．2.函数的零点个数为

(A)3

(B)2

(C)l

(D)0参考答案：B3.已知、

均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（

）A．

B．

C．

D．4

参考答案：C略4.已知集合,则等于A.

B. C.

D.参考答案：D由不等式得，又，故,故选D.5.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，

的“新驻点”分别为则的大小关系为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略6.设圆C与圆

外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（

）A．抛物线

B．双曲线

C．椭圆

D．圆参考答案：A

本题考查了圆与圆外切、直线与圆相切的条件以及抛物线的定义，考查了学生对知识的掌握程度，难度中等。

因为圆C与圆外切，同时与直线y=0相切，所以点C到点（0,3）的距离比到直线y=0的距离大1，即点C到点（0,3）的距离与到直线y=—1的距离相等，由抛物线定义可知点C的轨迹是抛物线.7.设等差数列的前项和为、是方程的两个根，

A．

B．5

C．

D．-5参考答案：A因为、是方程的两个根，所以。又，选A.8.已知集合，，则A∩B的元素个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B故答案为：B.

9.（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断选项．【详解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．10.已知是圆外一点，则直线与该圆的位置关系是

（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．相切或相交参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系．H4

【答案解析】B解析：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，∴+＞a2．圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d=＜=a（半径），故直线和圆相交，故选B．【思路点拨】由题意可得+＞a2，圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d，根据d小于半径，可得直线和圆相交．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为．参考答案：考点： 几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题： 概率与统计．分析： 设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答： 解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE∵DE是△ABC的中位线，∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，△PAB的面积S=BC?h=S△ABC=S因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面积大于的概率为P==．故答案为：．点评： 本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．12.不等式的解集为____________.

参考答案：略13.若判断框内填入，则下面的程序框图输出的结果为_______

参考答案：答案：13214.已知点在曲线：（为参数）上，则到曲线的焦点的距离为_______________．参考答案：515.正三棱锥P-ABC底面边长为1，高PH=2，在这个三棱锥的内切球上面堆放一个与它外切，且与棱锥各侧面都相切的球，按照这种方法，依次堆放小球，则这些球的体积之和为

参考答案：解析：如图，过侧棱ＰＡ及高ＰＨ的截面为ＰＡＤ，则点Ｄ为ＢＣ的中点，设内切球。。。。和半径为。。。，ＤＨ＝，ＰＤ＝，有cos==,由此解得＝，在直角梯形中，，解得，同理16.已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为,其中为虚数单位，则展开式中常数项为

.

参考答案：

16.

17.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是

.参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行(将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过).(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？(2)海中有一处景点(设点在平面内，，且)游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.参考答案：【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.【参考答案】（1）由已知得：，直线的方程为，………1分设，由及图得，

………3分直线的方程为，即，

………5分

由得即，

………6分，即水上旅游线的长为．

游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．………8分（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为.

………10分由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，

………12分所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．

……14分解法2：设游轮在线段上的点处，

则，，

………10分

，

，

，，

………12分

时，

当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).………14分19.（本小题满分13分）已知圆．若椭圆的右顶点为圆M的同心，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若存在直线，使得直线与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且，求圆M半径r的取值范围．参考答案：20.已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，其中是的导函数．证明：对任意，．参考答案：（Ⅰ），依题意，为所求.（Ⅱ）此时

记，，所以在，单减，又，

所以，当时，，，单增；

当

时，，，单减.

所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，.（Ⅲ），先研究，再研究.

①记，，令，得，

当，时，，单增；

当，时，，单减.

所以，，即.

②记，，所以在,单减，所以，，即

综①、②知，.

略21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线的极坐标方程为：，点，参数。（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）求点到直线距离的最大值。参考答案：解：(1)且参数，所以点的轨迹方程为。(Ⅱ)因为，所以，所以，所以直线的直角坐标方程为。由(Ⅰ)点的轨迹方程为，圆心为，半径为2。所以点到直线距离的最大值。22.（本题满分12分）已知抛物线：的焦点为，过点引直线交于、两点，是坐标原点．（1）求的值；（2）若，且求直线的方程．参考答案：解（1）由已知得点坐标为当的斜率存在时，设其方程为由①………2分