2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（含解析）2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为()

A.B.C.D.

2.“”是“，，成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知等差数列中，，则数列的前项和等于()

A.B.C.D.

4.如图，在平行六面体中，，，为的中点，则用向量，，可表示向量为()

A.

B.

C.

D.

5.已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是()

A.B.

C.与相交但不垂直D.或

6.已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角满足()

A.B.C.D.

7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()

A.B.C.D.

8.直线交椭圆于，两点，为椭圆上异于，的点，，的斜率分别为，，且，则该椭圆的离心率为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列四个选项中，正确的是()

A.数列，，，，与数列，，，，是同一数列

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列，，，，的一个通项公式是

D.若数列的前项和，则

10.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是()

A.实轴长为B.焦距为

C.离心率为D.焦点到渐近线的距离为

11.在平面上，动点与两定点，满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆已知动点与两定点，满足，记的轨迹为圆则下列结论正确的是()

A.圆方程为：

B.过点作圆的切线，则切线长是

C.过点作圆的切线，则切线方程为

D.直线与圆相交于，两点，则的最小值是

12.如图所示，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则()

A.直线与所成的角为

B.直线与平面所成的角为

C.直线与平面平行

D.平面截正方体所得的截面面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知空间向量，，则______．

14.已知直线与互相平行，则它们之间的距离是______．

15.在数列中，，，，则______．

16.已知实数，满足，则代数式的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

求出满足下列条件曲线的方程：

求焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程；

经过点的等轴双曲线的标准方程．

18.本小题分

在等差数列中，，，求数列的通项公式及前项和；

在等比数列中，，，求数列的通项公式及前项和．

19.本小题分

已知抛物线：经过点，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点．

求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

若，求证：直线过轴上一定点．

20.本小题分

已知数列的首项，且满足．

求证：是等比数例；

若，记数列的前项和为，求证：．

21.本小题分

如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，，，．

求证：平面；

若，平面与平面的夹角为，求点到平面的距离．

22.本小题分

已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过

求椭圆的标准方程；

过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：直线的斜率，

设其倾斜角为，

，得．

故选：．

由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：若，，成等比数列，则，解得，

故“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，

故选：．

根据等比数列的性质以及充分必要条件的定义判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查等比数列的性质，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：根据题意，等差数列中，，

则．

故选：．

根据题意，分析可得，计算可得答案．

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：在平行六面体中，，，，为的中点，

故．

故选：．

直接利用向量的线性运算求出结果．

本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：直线的方向向量是，平面的法向量是，

，

则与的位置关系是或．

故选：．

由，得到与的位置关系是或．

本题考查线面的位置关系、直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】

【解析】解：两条异面直线的方向向量分别是，，

，

这两条异面直线所成的角满足，

．

故选：．

利用向量夹角余弦公式直接求解．

本题考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：已知抛物线方程为，

则抛物线的焦点的坐标为，

又，

即点在抛物线外部，

由抛物线的定义可得：点到点的距离与到该抛物线的准线的距离等于，

又，当且仅当、、三点共线时取等号，

即点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为．

故选：．

设抛物线的焦点为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离等于，然后结合抛物线的定义求解即可．

本题考查了抛物线的定义，属基础题．

8.【答案】

【解析】解：设，

则由在椭圆上可得，

直线与的斜率之积为，

，

把代入化简可得，，离心率．

故选：．

设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．

本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．

9.【答案】

【解析】解：根据数列项的有序性可知，显然错误；

由于为正整数，即数列的图象是一群孤立的点，B正确；

数列，，，，分子为从开始的连续正整数，分母为开始，相差的正整数，故其一个通项公式为，C正确；

数若列的前项和，则，D正确．

故选：．

由已知结合数列定义检验选项AB，结合数列的通项公式检验选项C，结合和与项的递推关系检验选项D．

本题主要考查了数列的定义，数列的通项公式的求解，还考查了数列的和与项的递推关系的应用，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：已知双曲线，

则，，，

对于选项A，双曲线的实轴长为，

即选项A正确；

对于选项B，双曲线的焦距为，

即选项B错误；

对于选项C，双曲线的离心率为，

即选项C错误；

对于选项D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，

即选项D正确．

故选：．

由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法逐一判断即可．

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．

11.【答案】

【解析】解：设，由题意可得，

整理可得：，即的轨迹为圆心，半径的圆，

所以A正确；

中，因为，所以过的切线长为，所以B正确；

中，因为，即在圆上，，

所以过的切线的斜率为，

所以切线方程为：，即，所以不正确；

中，直线：整理可得：，

则直线过与的交点，

即直线恒过，而此点在圆内，所以直线与圆有两个交点，

当与直线垂直时，弦长最小，

，此时，所以D正确．

故选：．

设的坐标，由题意可得的轨迹方程为圆心，半径的圆，判断出的真假；由切线长及切线的方程的求法，判断，的真假；将直线的方程整理可得恒过定点，且此点在圆内，且当时，弦长最小，并求出的最小值．

本题考查点的轨迹方程的求法及直线与圆的综合应用，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于：连接，，，

由，分别为，的中点，可得，

在正方体中，可得，

所以为异面直线直线与所成的角，

由为等边三角形，所以可得直线与所成的角为，故A正确；

对于：取的中点为，连接，

因为是的中点，可得四边形为平行四边形，

所以，因为平面，

所以直线与平面所成的角为，

其中，所以，所以不正确；

对于：如图所示，取的中点，连接，，

由，且平面，平面，所以平面，

同理可证：平面，因为，且，平面，

平面平面，又因为平面，所以平面，所以C正确；

对于：因为，为，的中点，所以，

因为，所以，所以，，，四点共面，

所以截面即为等腰梯形，因为正方体的棱长为，

可得，，在直角中，可得，

则高为，

所以梯形的面积为，所以D正确．

故选：．

连接，，，可得为异面直线直线与所成的角，求解判断；取的中点为，连接，可得直线与平面所成的角为，求解可判断；取的中点，连接，，证得平面平面，可判定；由，得到截面为等腰梯形，求得梯形的面积，可判定．

本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考查线线角的求法，考查截面面积的求法，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：由于空间向量，，则．

故答案为：．

直接利用向量的坐标运算求出结果．

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

14.【答案】

【解析】解：直线与分别化为：，．

直线与互相平行，

，

解得，

直线即．

它们之间的距离．

故答案为：．

由于直线与互相平行，可得，解出，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．

本题考查了两条平行线之间斜率关系及其距离公式，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：在数列中，，，，

可得是首项为，公差为的等差数列，

则，即，

所以，

所以．

故答案为：．

由等差数列的性质推得是首项为，公差为的等差数列，由等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

本题考查等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：因为实数，满足，

即点到点与到点的距离之和为，

又因为，

所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

所以，，，，

所以椭圆的方程为，

而表示椭圆上的点到直线的距离的倍，

设为椭圆上的任意一点，且点到直线的距离为，

则，

所以当时，取最大值为，

所以此时最大值为．

故答案为：．

由题意可得点在椭圆上，表示椭圆上的点到直线的距离的倍，设为椭圆上的任意一点，利用点到线的距离公式求出的最大值即可得答案．

本题考查了函数最值几何意义、转化思想，难点是得出点的轨迹，属于中档题．

17.【答案】解：椭圆的焦点在轴上，且长轴长为，短轴长为，

，，

，，

椭圆的方程为：；

设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为，

将点，代入可得，

，

方程为，即．

【解析】根据长轴长求出，根据短轴长求出，从而写出椭圆方程；

设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为，代入的坐标，可得双曲线的方程．

本题考查了椭圆以及双曲线的方程和性质，属于基础题．

18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，

则，

整理，得，

解得，

，，

由题意，设等比数列的公比为，

则，

即，

解得，

，，

．

【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，根据等差数列的通项公式与求和公式即可计算出数列的通项公式及前项和；

先设等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，根据等比数列的通项公式与求和公式即可计算出数列的通项公式及前项和．

本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的通项公式与求和公式的运用，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．

19.【答案】解：由抛物线：经过知，，解得，

所以抛物线的方程为：，

所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为；

证明：当直线的斜率不存在时，设，，

因为，所以，解得，

此时的方程为，过轴上的点；

当直线的斜率存在时且不为，设其方程：，，

设，，

联立，整理可得：，，即，

，，

因为，即，可得，

即直线的方程为：，

可证得直线过定点．

【解析】由抛物线过点，可得的值，可得抛物线的方程；进而求出焦点坐标及准线方程；

分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之积，由，可得，求出参数的值，即证得直线过轴上一定点．

本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．

20.【答案】证明：由，变形为，，

数列是等比数例，首项为，公比为．

由可得：，

，

数列的前项和，

，

相减可得，

化为，

．

【解析】由，变形为，即可证明结论．

由可得：，利用错位相减法可得数列的前项和，进而证明结论．

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：证明：设与相交于点，连接，

四边形为菱形，，为的中点，

，，又，平面，平面，

平面；

连接，，为中点，，

又，，平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．

、、，

设