行列式的多种计算方法

例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式xaxaa12axaD=i2n+1••aaai23ananx把某一行（列）尽可能化为零例2计算：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2+x 2 2 2\o"CurrentDocument"2 2-x 2 2D=\o"CurrentDocument"4 2 2 2+y 22 2 2 2—y递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低n级行列式间的关系，然后进行递归.

例4证明：a+卩a卩0…001a+卩a卩…00an+i_BD=01a+B…00n•••aB000…1a+卩例5证明范德蒙行列式（虫2）111…1xxx•…xi23nV=x2x2x2•…x2=n(_x)n123nij•••1<i<j<nxn_1xn_1xn_1•…xn_1123n4加边法：对行列式Dn添上一适当行和列构成行列式Dn+1,且Dn+1=Dn例6证明：1+a1111+a211…1…111n1D=111+a…11=aa・・a(1+E )n312n a•••i=i111…11+an

拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1,求证：a2a2+b2+c2+d2+~a^21b21c21d2ab

c

d利用行列式的乘积：为求一个行列式D的值，有时可再乘上一个适当的行列式A；或把D拆分为两个行列式的积ab

c

d例8（1）cos(x—a)12cos(a—a)1 3cos(cos(x—a)12cos(a—a)1 3cos(a—a)121cos(a—a)233 1 ncos(a—a)…cos(a—a)3 2 n1 …cos(a—a)cos(a—a)1cos(a—a)1ncos(a—a)2ncos(a—a)… 11n(2)设S1=kjk+k$+・・・+kk(k=1,2^)，求证:k1 2 nnssnss12sss123sss234•••sssn—1nn+1sn-lsnsn+1=n(九—九)2ij1<i<j<n利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展开定理的推广.定义(1)在n阶行列式D中，任取k行k列(1<k<n),位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S,称为D的一个k阶子式.如：126447012584D=157316则D的一个2阶子式为：S=28

在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生的k阶子式有ck个.(2)设S为D的一个k阶子式，划去S所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又设S的各行位于D中的第i1,i2^ik行，S的各列位于D中的第)禺・・以列，称A=(-1)(i1+i2+・・・+ik)+(j1+j2+・・・+jk)M.如：14厂）14厂）212 67 05 85 7414316则D的一个2阶子式为：S=287 1M=53为S的2阶子式7 1M=(-1)(1+3)+(1+3)53为S的代数余子式.

拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1<k<n-1),贝U由这k行所对应的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D.例9计算21001210D=01210012000100012例10块三角行列式的计算设：(B0、(.B*、A=mmA=mm*VC丿或V0C丿nxn nxn则：detA=(detB)(detC)•特别地：若A=diag(A1,A2,^,At),MDetA=(detA1)(detA2)…(detAt).1 2 t例11例11设分块矩阵A二其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12计算D二ai1=0a •…20 •…1 …•••an000b1b200…1bn例13设：/B、A=<C丿,BCT=0.证明：|AAt|=|BBt||CCt|.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.定义法：n阶行列式等于所有取自不同列的n个元素的乘积的代数和．

010…0002…0例1:D=::::n000…n—1n00…0nxn解：在n!项中只有一项aaa…aa 不为零，且兀(2,3—n,a)二n-1122334 n-1nnn+1/.D二(—1)n-iaa…aa二(—1)n-11-2・・・n—1-n二(—1)n-1-n!n 1223 n-1nnn+1三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.2.1特殊行列式九0…0九0…*九0…01110九...00九...00九…0=九九…九⑴•222••••••1 2 n—00…九00…九*0…九nnxnnnxnnnxn对角行列式上三角行列式下三角行列式0…0九0…0九0…0九1110...九00...九00...九0n(n—1)八八 ‘⑵.222=(—1)2九九…九::::::::12九…0九九…00九…00nnnxnnnxnnnxn次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式2.2箭形行列式1112例2D=10n100…n解：D_n解：D_nj=2,3，…n1丄1nxn11…120…003…0=n!(1—丫1)nxn2.3可化为箭形的行列式=H(x=H(xi-1x1a1a1a2x2a2a3a3x3•…an… an•… anx丰a,i=1,2,…，ni iaaa•…x123nnXnxaa… a123na—xx—a0…01122r-r='a—x0x—a…0n-1133i=2,—n•••a—x00…x—a[1nnxaaa 1—2 3-—— .・・ n-解：Di-1x2x-a1x-a303D=n-a12x—an0ni=1-1(xia—k x(xia—k x-ak=10k ka2x—a212a n x-ak0k=(1x—ak=1 kk)H(x—a)iii=1展开的性质，将高阶行列降阶法降阶法是利用行列式按其行(列)式转化为低阶行列式进行计算展开的性质，将高阶行列例4ab0・00ab・00b0・000ab・000a・000b・00D=•::::按第一列=a00・ab+(—1)n+1b::::000・ab展开••••00・b0b00・0a00・0a00・ab+an+(—1)n+1bn= (—1)n—1(n+1)!2升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算

nxnnxnx-ax-a0=(1+-n^)-(x-a)n-1x-a1aa…a1aa… a0xa…a-1x-a0…00ax…ar一r,r一r…r-r-10x-a…0:::2 13 1 n1:::0aa•…x-100…x-aax当x丰a时Dnanax-ax一anxn5递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n-2,…阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值例6xaa…x…xaa…x…aaaax0axaaD=n::::=0axaa…xa:::aa…ax0aaxnxa…aaax…aa+:::•♦—.(x-a)Dn-1+aa…xaaa…aanxn=(x-a)Dn-1+a(x-a)n-1由此,得递推公式:Dn(x-a)Dn-1+由此递推下去,得:…0+axa…a0…0+aax…a0…0+a .::::aa…x0…x一a+aaa…ax一anxnnxnx一a0•…0a0x-a…0a00•…x-aa00•…0anxna(x-a)n-1D=(x-a)[(x-a)D +a(x-a)n-2]+a(x-a)n-in n-2=（x一a）n-1D+（n一1）a（x一a）n-11=（x-a）n-i[x+（n-1）a]6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值例7D=n=a(1+—)1D=2=D=2=a1于是可猜测D=aa…an 1 2（1+昱丄）ai=1 i（1+工丄）（n>1）下面证明这一猜测是正确的.假ai=1 i设对n-啲情形猜测正确，即设对n-啲情形猜测正确，即D=aa…a（a+D=n1+a1111…11+ai21•••1111••1a00…010a0…02—...:+aD:•••n-1111…1=aa…a+aD12 n-1 nn-1于是又归纳假设得：n-112n-1ai=1 i1+a11…1111+a1…12+::::000…anD=aan12aD=aan12an-1+aaa…an12 n-1=aaa12i=1i…a(1+ —)nai=1i故对一切自然数n猜得正确，即D=aa…a(1+工1),n>1n12n ai=1i

7利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例8D=n1x11x21x3・1xnn阶范德蒙行列式为xn—2xn—2xn—2・xn—2123nxnxnxn・xn123n111・1aaa・a123na2a2a2・a2=1(a—a)123nji••••1<i<j<nan—1an—1an—1・an—1123n解构造n+1阶范德蒙行列式x1x2x3・xnxxn—2xn—2xn—2•…xn—2xn—2123nxn—1xn—1xn—1・ xn—1xn—1123nxnxnxn・xnxn123n(n+1)x(n+1)=A+xA・xn—2A+xn—1A1,n+12,n+1n—2,n+1n,n+1(x—x)(x—x)・•(x—x)-1(—x)12nij11111f(x)二+xnAn+l,n+11<j<i<nD二M =-A 由f(x)的表达式知，xn-1的系数为n n,n+1 n,n+1A=—(x+x+…・+x)11(x—x)n,n+1 12 n ij1<j<i<n/.D=(x+x+・・+x)11(x—x)n1 2 n ij1<j<i<n8拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简单的a1na1nanna11例9设D=:an1

a+xa+x…a+x1111221nna+xa+x…a+xD-2112222nnn::：••a+xa+x…a+xn11n22nnn解aa+x…a+xxa+x•…a+x111221nn11221nnaa+x…a+xxa+x….a+xD-212222nn+.12222nn•••••n••••••aa+x…a+xxa+x•…a+xn1n22nnn1n22nnnaa+xa+x111221nnaa+xa+x—212222nn+x乙A::1i1i—1aa+xa+xn1n22nnn=…=D+=…=D+x工Ani=1in+•••+xA1i=1i1工x工Aj ijj=1 i=19变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得例102 1—a•…1—aD—1—a2•…1—an:::1—a1—a…2解令x=1-a，由（拆项法例题结果）知…・ 0+1—a1+a 0 …0…・ 0+1—a0 1+a…0…・ 1+a+1—a0 0 …1+a1+a+1—a0+1—a0+1—a+(1—a声nAiji=1j=1因为Aij(1—a)"一11-j...D=(1+a)n—1[(n+1)+a(1—n)]0i丰因为Aij10分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值例11

a+ba+b…a+bi1121na+ba+b…a+bD=n21222na+ba+b…a+bn1n2nnnxna110…0111…11a10…0bb…b0n>3223n解D=a10…0-00…0=<a+bn=1n311::::::::(a-a)(b-b)n=21221an10…0000…0例题例1计算行列式D=n例1计算行列式D=n02(-10I3102—J2£§£p4|l2J\41123«-3-11ri0-1一10-5-91123心）0110-3-110-5 -9一;-4-10-10123412341—011401140一3-11-1400—8-20-5-9-1000-4LU0 -8-2=-lxlx(~8)xll=880(»1131-12例…算-;「7I-5 3-3解D二一10解D二一102-513-313-12021-]0-84016-2713-12021-1008-100005/2二40,"一口q+5儿02]-1016-2713-]202]-]00S-1000-10153 111例#汁算D—|例#汁算D—|13 1'1I3解注意到行列式中各行（列）4个数之和都