函数的概念与图象6种常见考法归类（原卷版）

5.1函数的概念与图象6种常见考法归类1.函数的概念给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域.2.值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.3.同一个函数如果两个函数对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.4.函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.5.作图、识图与用图(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)．6.判断一个对应关系是否为函数的方法①判断集合A，B是否为非空数集.②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应.满足上述两条，则该对应关系是函数，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一个不满足便不能构成函数.7.判断两个函数是否为同一个函数的方法①一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数.②因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系都分别相同，值域就一定相同.8.求函数定义域时，要注意应用下列原则：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.注意定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.9.抽象函数的定义域1已知fx的定义域，求fgx的定义域：若fx的定义域为[a，b]，则fgx中a≤gx≤b，从中解得x的取值范围即为fgx的定义域.2已知fgx的定义域，求fx的定义域：若fgx的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范围，gx的取值范围即为fx的定义域.,用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围.告诉我们已知什么，求什么②括号内范围相同.10.求函数值的方法(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(ax对应的函数值的集合.11.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．12.函数图象的画法(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.(2)画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．(3)描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．(4)函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．13.函数图象的平移变换1左右平移：a＞0时，y＝fx的图象向左平移a个单位得到y＝fx＋a的图象；a＞0时，y＝fx的图象向右平移a个单位得到y＝fx－a的图象.2上下平移：b＞0时，y＝fx的图象向上平移b个单位得到y＝fx＋b的图象；b＞0时，y＝fx的图象向下平移b个单位得到y＝fx－b的图象.14．常借助函数图象求解以下几类问题(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围．考点一函数关系的判断（一）由定义判断是否为函数（二）从图象判断是否为函数关系考点二同一个函数的判定考点三函数的定义域（一）求具体函数的定义域（二）抽象函数的定义域（三）已知函数的定义域求参数考点四函数的值域与函数值考点五画函数图象（一）利用描点法作函数图象（二）利用图象的平移变换作函数图象考点六函数图象的应用考点一函数关系的判断（一）由定义判断是否为函数1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；(2)，，对应法则，，；(3)，，对应法则，，；(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.4．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（）A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：x012y121C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：

D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为05．【多选】（2023·全国·高一课堂例题）下列对应关系是集合到集合的函数的为（

）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，对应关系如图所示：

（二）从图象判断是否为函数关系6．【多选】（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

8．（2023秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）在下列图像中，表示函数图像的可能是（

）A．

B．

C．

D．

考点二同一个函数的判定9．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与10．【多选】（2023秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）下列各组函数中不是相等函数的是（

）A．， B．，C．， D．，11．（2023秋·高一课时练习）下列各组函数．①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数.其中表示同一函数的是(填序号).12．【多选】（2023秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）下列各组函数表示的是不同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与13．【多选】（2023秋·高一单元测试）下列四组函数，表示相同函数的一组是（）A．，（）B．，C．，D．，考点三函数的定义域（一）求具体函数的定义域14．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．15．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（

）A． B．C．且 D．且16．（2023秋·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）函数的定义域为.17．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4).（二）抽象函数的定义域18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是.19．（2023秋·高一课时练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域（

）A． B． C． D．21．（2023秋·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则的定义域为.22．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.23．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．24．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．（三）已知函数的定义域求参数25．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（

）A．或 B．C． D．26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是．27．（2023春·北京·高二汇文中学校考期末）函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A．或 B．或C． D．28．（2023秋·河北保定·高一统考期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；(2)若的定义域为R，求实数a的取值范围．考点四函数的值域与函数值30．（2023秋·海南·高一校考期中）已知函数，(1)求的定义域；(2)求，的值；(3)当时，求的值.31．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求，的值；(2)求的值.32．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．133．（2023秋·高一课时练习）设，，若，求的值．34．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).35．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4).36．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).37．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．38．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则.39．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五画函数图象（一）利用描点法作函数图象40．（2023秋·高一课时练习）作出下列函数的图象，并写出其值域．(1)；(2).41．（2023秋·高一课时练习）作出下列函数的图象，并求其值域：(1)；(2).42．（2023秋·浙江台州·高一校联考期中）已知函数，，，(1)画出函数，的图象；(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.（二）利用图象的平移变换作函数图象43．（2023·全国·高一专题练习）将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为（

）A． B．C． D．44．（2023秋·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位45．（2023秋·安徽宿州·高一校考阶段练习）为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向左平移1个单位，再向下平移2个单位46．（2023·江苏·高一假期作业）用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域．考点六函数图象的应用47．（2023秋·高一课时练习）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（）A． B．C． D．48．（2023秋·高一单元测试）对于任意，函数表示、、中的较大者，求的最小值.49．【多选】（2023秋·高一课时练习）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池