运用数列的单调性求最大项

运用数列的单调性求最大（小）项高飞数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集）（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列也｝而言，若a<a+1，则此数列为递增数列，若a>a+1，则其为递减数列，若a=aj，则其为常薮列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。 nn+1整式（一次，二次）函数为背景的数列例1.已知等差数列^｝（d<0）其前n项和为Sn，若S9=S17，问冬」中哪一项最大？解：因为S9=si7a+a+—+a=0乂因为a+a=a+a=a+a=a+a10 17 11 16 12 15 13 14二a】3+a】4=0，因为d<0所以数列^｝单调递减，于是a13>0,a14<0S14最大点评：等差数列中，当d<0时，，:k，；0时，Sk最大。[k+1公差d>0时fk-0时，S最小。la>0kk+1无理根式函数为背景的数列例2.设函数f(x)=log2x—logx2(0<x<1)数列｛^｝满足f(2an)=2n,(n=1,2,—)求an。求幺」的最小项解：(1)由已知log22an——1一=2n「.a——=2n,a2一2na-1=0n解得a=n±川2+1,/0<x<1，即2an<1可知an<0

「.a=n-Jn2+11(2)a=n—vn2+1= . ：n n+in2+11a= , ‘n+1 n+1+v'(n+1)2+1,/n+&n2+1<n+1+、'(n+1)2+1•••an<an+1，可知数列I｝是递增数列an的最小项为a1=1-J2点评：注意隐含条件a<0，否则会得出a+1<a的错误结论，在(2)中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。n+'n以分式函数为背景的数列例3.已知an=n-V98(neN*)则在数列幺」的前30项中最大项和最小项分别是解：ann-府=1[R斑-7勇n-\98n解：an98-U97.…一、.一 _一.数列中的项是函数f(x)=1+、98V上的一个个孤立点，而 f(x)的图象是由xf98y=的8-y97右移、茹个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在(-8，伊8)上是减函数。x在G-;98,+8)上也是减函数，从而可知当n=9时an最小，n=10时，a”最大。最大项和最小项分别为a10,a9。例4.例4.已知S=1+1+1+…+1(neN*)，

n23n记an=S2n+1-Sg，求数列幺」的最小值。1 +.•・+ 1 +.•・+ ，2n+11〉 +2n+21 1—

2n+4n+212n+212n+41解：a=S -S=——+n 2n+1 n+1n+2n+311则an+1-an=2n+1+2n+3一n+2•a1〉a•幺｝为递增数列n幺」中的最小项为a1=3四.以函数y=x+-(x〉0,a〉0)为背景的数列x… n例5.已知数列a= (neN*)，则该数列中的最大项是第几项？nn2+156解：由a=一n一得a=一J联想函数y=x+^56(x〉0)知函数在(0,*B6)上nn2+156n156 xn+ n为减函数。在(t156,+8)为增函数。当且仅当x^156时，函数取最小值，而neN*。要使n+156的值最小，应使n=[方56]。n通过计算验证，可得n=12或13时，a最大。•••a12=a13为数列即中的最大项。五.混合型数列(由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>)例6.已知无穷数列幺」的通项公式an=、「)，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。9n+1(n+2)9n(n+1)解：an+1-an= 10n+1 —10n9n(8—n)—10n+1.•.当1<n<8时，a1〉a，即a1<a2<a3<…<a8当n=8时，a1=a，即a8=a9当n>8时，a1<a，即a〉a1〉a^〉…由函数单调性知数列Sn｝存在最大项即第8,9项。例7.已知数列七｝的通项公式为an=nan，其中ae(0,2]U[1,+s)，数列幺“｝中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。解：a—a1=nan—(n+1)an+i=an[n(1—a)—a]（1） 当a>1时，易见a-a+1<0，即a1<a2<a3<…，所以数列^a｝中不存在最大TOC\o"1-5"\h\z项。 n n+i ' 2 3 n（2） 当0<a<1时，易见a一a1=（1+a）an（n一~~~）a 1（i）当0< <1，即0<a<时1一a 2an-an+1>0，即a1>a2>a3>^，所以数列iij中的第1项aj最大。a1（ii） 当1 =1，即a=2时，a—a1>0。（仅在n=1时等式成立）即a1=a2>a>a4>…所以数列h｝中的第1项和第2项最大…（iii） 当a>1即a>1时，若a且为整数。1—a 2 1—aa记1 =N，易矢