专题05 函数嵌套问题（解析版）

专题05函数嵌套问题一、单选题1．（2021·四川资阳·高一期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【答案】B【分析】由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数．【详解】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．综上原方程有4个根．故选：B.【点睛】本题考查考查函数零点与方程根的个数问题，解题时作出函数图象利用数形结合思想求解是明智之举．而换元把方程转化为一元二次方程是解题关键．2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设，则有四个不同的解，因为，所以为偶函数，且当时，为增函数，所以当时，为减函数，所以，即，当时，，则，令，解得，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，又，作出时的图象，如图所示：所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，作出图象，如下图所示：此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.综上实数m的取值范围为.故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.4．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为，所以，当，；当，，所以在和单调递减，在单调递增，且当时，，，故的大致图象如图所示：关于的方程等价于，即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故选:C.5．（2021·安徽·马鞍山二中高二期末（文））已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】先画出函数的图象，令，由题意中的恰有个不同的实数解，确定方程的根的取值情况，继而求出的范围【详解】，则当时，，单调递增当时，，单调递减如图所示：令，则有即解得故即故选【点睛】本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．6．（2021·云南保山·高二期末（文））定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【分析】设，作出函数的图象，根据关于的方程恰有5个不同的实数解，得到的取值情况，结合图象利用对称性，即可求出结论．【详解】设，则关于的方程等价为，作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，当时方程有两个不同的实根，∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等价为有两个根，一个根，另外一个根，不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，则，则，且，则，故选：C．7．（2021·河南·高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求导分析的单调性、极值、边界情况，画出函数在的图象，数形结合即得解【详解】当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，且，当时，；当时，单调递增，且此时.函数在的图象如下图所示：方程即，由图象可知，在有3个实数解，由于为偶函数，故在R上有6个实数解所以只需要有4个不同的实数解，可得或，故选：B.8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程有且仅有个不同的实数根,则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意在上是递增，在上递减，当时函数取得最大值；当时，取得极小值．要使关于的方程有且仅有个不同的实数根，设，则必有两个根，则有两种情况符合题意：（１），此时；（２），此时同理可得．综合可得的取值范围．故选C.考点：分段函数；函数的图象．【易错点睛】本题主要考查了分段函数与复合函数的应用，函数的图象，函数与方程的关系，函数的单调性等知识点．本题由给定的关于的方程有六个根可知方程有两个解，根据根的范围分两种情况，可得每种情况下的范围，最后可得的范围．本题考查了知识点较多，逻辑能力，分析能力等能力也进行着重的考查．本题属于难题．9．（2021·湖南衡阳·高一期末）已知函数，若方程有九个不同实根，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出的函数图象，根据图形可得本题等价于在有两个零点，其中1个零点为1，则可列出不等式组求出的范围，进而求出结果.【详解】画出的函数图象如下，由图可知，若方程有九个不同实根，则或，其中或，令，则在有两个零点，其中1个零点为1，则，解得且，，且，故的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的关系，根据方程解的个数求参数范围，解决本题的关键是画出函数的图象，根据图象可知要使方程有9个根，等价于在有两个零点，其中1个零点为1，再根据二次函数的性质进行解决.解决函数与方程的问题常用数形结合的方法，因此画函数图象、分析图形能力是必备能力.10．（2021·宁夏·银川一中模拟预测（理））若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（）A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5【答案】B【分析】设，可得或，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出.【详解】函数有极值点，则，且是方程的两个根，不妨设，由可得或，易得当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，则可画出的大致图象如下：如图所示，满足或有3个交点，即关于x的方程的不同实根有3个.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足或的图象交点个数.11．（2021·河南许昌·高一期末）设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】等价于，即或，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出函数的图象如下图所示．变形得，由此得或，方程只有两根所以方程有三个不同实根，则，故选：B【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解．12．（2021·全国·高三专题练习）若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实根个数是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于或，按照、分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意，，为函数的极值点，所以有两解，所以方程等价于或，当时，则为函数的极大值点，且，为函数的极小值点，画出函数图象，如图：此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；当时，则为函数的极小值点，且，为函数的极大值点，画出函数图象，如图：此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；综上，有三个不同实根.故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.13．（2021·重庆南开中学高三月考）已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围A． B． C． D．【答案】D【详解】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．设，则原方程化为，∵方程有8个相异实根，∴关于的方程在上有两个不等实根．令，．则，解得．∴实数的取值范围为．选D．点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．二、多选题14．（2021·江苏·海门中学高三月考）已知函数，，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是（）A．当时，方程没有相应实根B．当或时，方程有1个相应实根C．当时，方程有2个相异实根D．当或或时，方程有4个相异实根【答案】AB【分析】先由题中条件，得到；根据导数的方法，判定函数在时的单调性，求函数值域，再由得出或；再根据函数零点个数的判定方法，逐项判定，即可得出结果.【详解】由得，则；所以，故，当时，，则，由得；由得；则，又，时，；即时，；当时，；由解得或；A选项，当时，与都无解，故没有相应实根；故A正确；B选项，当或时，方程有1个相应实根，即只要一个根，则只需或，解得或；故B正确；C选项，当时，有三个根，有一个根，所以方程有4个相异实根；故C错；D选项，时，方程有两个解；有一个解，共三个解；当时，方程有两个解；有一个解，共三个解；当时，方程无解；方程有三个解，共三个解；故D错.故选：AB.【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程的实根，考查方程根的个数的判定，属于常考题型.三、双空题15．（2021·全国·高一课时练习）已知函数其中．①若，则的最小值为______；②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】①讨论和时，函数的单调性，由单调性得出函数的最小值；②令，则，将函数的零点问题，转化为函数与函数的交点问题，讨论的范围，即可得出的范围.【详解】①当时，在区间上单调递减，则当时，在区间上单调递增，则则的最小值为②令，则当时，函数的图象如下图所示则，则函数与函数有两个交点，则满足题意当时，函数的图象如下图所示则，则函数与函数只有一个交点，则不满足题意综上，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了由分段函数的单调性求最值以及由函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.四、填空题16．（2021·全国·高一期末）已知函数若方程有6个不同的实数解，则m的取值范围是________．【答案】【分析】作出的图像，令，问题等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，再分解因式求解即可.【详解】函数的图象如图所示．令，则方程有6个不等实数解，等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，令，则解得且．故答案为：.【点睛】方法点睛：研究方程问题，一方面用函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．17．（2021·河南·滑县实验学校高二月考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案．【详解】设，则，由，解得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．当时，函数取得极大值也是最大值为（）．方程化为．解得或．如图画出函数图象：可得的取值范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18．（2021·广东·阳春市第一中学高三月考）已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】设，画出函数图像得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】设，如图所示，画出函数图像，有三个不同的实数解，需满足即设，当，满足：解得：当，解得，此时，满足综上所述：故答案为【点睛】本题考查了函数的零点问题，漏解是容易发生的错误，根据图像得到根的大小关系是解题的关键.19．（2021·四川省新津中学高一开学考试）已知函数则方程恰好有4个不同的解，则实数的取值范围为_________．【答案】【分析】令，，作出图像，作出图像，通过图象分析解的各种情况．【详解】解:令，，作出图像，作出图像，，时，有两根，设为，，则，，即，此时有2个根，，此时有2个根，共4个根，满足条件.，时，，解得或或6，即，无解，，2解，，2解，共4个解，满足条件.，时，，有四个根，设为，，，，其中，，，，即，无解，，无解，，2解，，2解，共4个解，满足条件.时，有4个根，0，2，，（），，1解，，1解，，2解，，2解，共6解，不满足条件.时，，有3个根，设为，，，其中，，，即有2解，有2解，有2解，共6解，不满足条件.时，，有两根和3，有2个根，有2个根，共4个根，满足条件，综上.故答案为：.【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设，方程化为，，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．20．（2021·全国·高一课时练习）设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________【答案】【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，要使恰好有六个不同的实数解，则方程在，内有两个不同的实数根；【详解】解：作出函数的图象如图：令，则方程化为，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，，解得且，实数的取值范围为．故答案为：．21．（2021·全国·高一专题练习）函数y=f(x)，x∈(0，+∞)的图象如图所示，关于x的方程)有4个不同的实数解，则m的取值范围是___________.【答案】【分析】用换元法转化为讨论关于t的方程有两个根且两个都在区间上，求m的范围.【详解】令，则关于的方程有4个不同的实数解等价于方程有两个根且两个都在区间上，设，由图则有，解得故答案为：【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；(4)二次函数型转化为“根的分布”.22．（2021·广东·铁一中学高一月考）已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】令，结合的图象将问题转化为“方程在上有两不等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出的取值范围.【详解】作出的图象如下图所示，令，因为关于x的方程有8个不等的实数根，结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且，因为，，所以，又因为，，即，所以的取值范围是，所以的取值范围是，故答案为：.23．（2021·全国·高三开学考试（理））已知函数是定义域在R上的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】由已知作出函数的图象，题设方程的根的个数即和的根的个数，由图象易得参数范围．【详解】画出函数的图象，如图所示．由，可得或，因为由图象知当时，方程有2个根，又关于x的方程有且仅有6个不同实数根，所以有4个根，由图知，当时，方程有4个根．故答案为：．24．（2021·江苏苏州·高二月考）已知函数方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】