数学建模航空的预定票策略

数学建模比赛许诺书我们完整理解，在比赛开始后参赛队员不可以以任何方式（包含电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包含指导教师）研究、议论与赛题有关的问题。我们知道，剽窃他人的成就是违犯比赛规则的,假如引用他人的成就或其余公然的资料（包含网上查到的资料），一定依据规定的参照文件的表述方式在正文引用途和参照文件中明确列出。我们郑重许诺，严格恪守比赛规则，以保证比赛的公正、公正性。若有违犯比赛规则的行为，我们将遇到严肃办理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：B我们的队号为：11参赛队员：1.电子0903徐路源2.数学0901王璐璐3.数学0901张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期：2010年8月10日评阅编号（由评阅老师评阅行进行编号）：.数学建模比赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注展望机票价钱和预约数目限额最优问题纲要本文所要议论的问题能够归纳为一个趋向拟合和鉴于二项散布求最优决议的问题。成立了两个模型：分别用来展望机票的将来价钱和求机票的预约限额。第一我们依据所给的2005年10月～2010年3月时期，每个月经济舱机票均匀价钱(单位:元)数据，经过Matlab软件用函数去拟合，所得函数即为机票预定价钱的数学模型。可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2)+a5*exp(-((x-b5)/c5)^2)+a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在展望中发现，由模型所得参照价钱不合实质。一方面拟合出的模型其实不拥有实质价值。以后我们采纳趋向外推法中最小二乘法的周期颠簸模型来解题。经过与实质价钱的比较，发现其偏差较小且置信度较高。所以我们获取的机票预定价钱的数学模型即为~πx)yt49.9355*cos(212x)πππ58.0239sin(2x)0.9938*cos(20.4632x*sin(2x)121212价钱随时间呈周期性变化，每过一个周期价钱略有上涨。这与人民经济生活水平提升分不开的。最后，我们采集了一些数据来旁证我们模型的价值。依据实质状况，拟订合理的预约策略需从经济利益最大化和社会名誉最好双方面来考虑。社会名誉能够用定了票来登机因飞机满员而不可以腾飞的乘客不超出某一给定值来权衡。则这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。我们假定每位乘客不准时前来登机的概率为p，能否前来登机是互相独立的，则不准时前来登机的乘客数听从二项散布。又因为订票需付必定量的定金，且在飞机腾飞前48小时内撤消预定会充公所有订金。对此，我们分状况议论。由概率散布知识可得利润S对于预约量限额M的函数为由利润最大化，利用Matlab软件求出M的最优解，经过查验和敏捷度剖析，由模型得出的机票预定限额置信度较高。查阅资料得，此限额较切合实质状况。最后，我们依据我们成立的模型对其进行优化。由实质可能出现的状况增设某类游客（学生、旅行者）的减价票，规定迟到则机票作废。在此基础上再成立一个模型。分别求此时飞机的参照价钱和预约限额。重点字：曲线拟合、趋向外推、周期颠簸、概率散布、利润最大一、问题重述航空企业对机票一般采纳预约策略。客户能够经过电话或互联网预约，这类预约拥有很大的不确立性，客户很可能因为各样原由撤消预约。航空企业为了争取最大利润，一方面要争取客户，另一方面要降低因客户撤消预约遭到的损失。为此，航空企业采纳一些举措。第一，要求客户供给信誉卡号，预支必定数目的定金。假如客户在飞机腾飞前48小时内撤消预约，定金将如数退还，不然定金将被充公。其次，航空企业采纳改动价钱，依据市场需讨状况调整机票价钱，一般来说旺季机票价钱比较高，淡季价钱略低。（1）成立机票预定价钱的数学模型，并对以下实例作剖析。表1给出了某某航空企业某条航线2005年10月～2010年3月时期，每个月经济舱机票均匀价钱(单位:元)，用模型说明价钱改动的规律，并据此预计将来一年内的经济舱机票的参照价钱。采集更多的数据来旁证模型的价值（要求注明出处）。（2）在旺季，航空企业常常能够预约出超出实质座位数的机票数,以减低客户取消预准时航空企业的损失。但这样做可能会带来新的风险,万一届时有高出座位数的客户出现,航空企业要经过升级机票品位或赔款来解决纠葛,为此航空企业还会担当信誉风险.某条航线就一中机型，有优等舱20座，经济舱300座，每日一班航班。为该航线拟订合理的预约策略,并论证原由。表１某航空企业某条航线2005年10月～2010年3月经济舱月均匀价钱(单位:元)时间价钱时间价钱时间价钱2005.106562007.048022008.1010682005.115262007.058782008.119962005.125022007.067942008.128042006.014822007.079262009.017942006.024982007.0810182009.028322006.036322007.099482009.039022006.046882007.1010162009.049722006.057202007.119162009.0510142006.066402007.128242009.069162006.076882008.017382009.079862006.087682008.028062009.0811242006.097362008.038722009.099482006.108022008.048942009.1010562006.117262008.059662009.118722006.126722008.068782009.127962007.017322008.0710282010.018842007.026622008.0811002010.028082007.037802008.099782010.03856二、背景航空企业订座的特色是：游客能够在飞机腾飞前一百多天里向购票处或航空企业订票，因为离飞机腾飞时间较长，以及游客行为的不确立性，常常航空企业会售出超出实际座位数的票数，即超售。在订座决议中，航空企业面对2种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，假如超售的结果（即实质抵达机场的已预约座位的游客人数）少于航班容量，会造成座位节余，这就是空座风险；假如断策结果多于航班容量，造成有些游客被拒绝登机，进而带来超售风险，合理的超售能够减少空位损失，但要确定合理的超售数额，倒是十分困难的。超售是航空企业利润管理的一项重要内容，这是解决所谓的NoShow问题，提升航空企业效益的重要技术手段，同时也有很多理论问题甚至法律问题需要研究。在实质航运中，航空企业发现常常发生已购票的乘客没有趁机（叫做NoShow），使得一些座位空着虚飞，而一些想旅行的和一些有急事暂时抵达机场（叫做CoShow）的游客却因购不到票而不可以成行，这不单浪费了航空企业的生产资源，同时也浪费了社会资源。依据对历史销售和离港数据进行剖析，能够展望游客的NoShow率和CoShow率，而后确立超售率进行机票销售。这样做不只能够充分利用热线航班的座位，提升航空企业的利润，同时也使得其余想趁机旅行人员能够成行，能够说是各方都得益的好事。德国汉莎航空企业在超售方面所做的工作特别优秀，每年能为企业多创建5%的利润。所以对超售的研究向来为航空企业所重视。但超售展望不行能十分正确，所以可能发生所谓的DB（DeniedBoarding）问题，即实NoShow率低于CoShow率时，便发生了已购票并来趁机的游客上不了飞机的问题。这常常惹起游客的不满甚至航空企业与游客的矛盾，航空企业采纳赔偿DB游客以化解矛盾的做法，但这样的赔偿常常是机票价钱的两倍以上。发生DB，航空企业的成本快速上涨，这也是航空企业不肯意看到的。所以超售是一把双刃剑，如何解决好NoShow率和DB这一对矛盾，向来是航空企业和学术界都十分关怀的问题。目前研究的许多的是机票超售模型是静态的。对于一个航班从开始销售之日到飞机腾飞时，超售的数目保持不变。这样将完整忽视机票实质销售状况。超售实质上完整溶于机票销售过程中。在机票销售过程中，航空企业的订座系一致面接受游客的订票，一面接受游客的撤消订票或是改签其余航班。明显机票的预约速度应大大超出撤消速率，在飞机腾飞前某时刻将达到或靠近飞机的容量，此时航空企业就将面对超售问题。一般来说，航空企业能够控制定票的流量，当已定机票超出理想的数目时，就不再接受订票的恳求。可是因为订票需求的不确立性，目前被拒绝的需求将来不再出现，而将来的撤消还持续发生，则到飞机腾飞时将产生空座，造成航班利润降落。所以机票的超售是一个动向的决议过程。这一过程依靠于目前的销售状态，将来的需求散布，机票撤消散布和腾飞时的NO-SHOW率、三、符号说明飞翔花费（为常数）r飞机优等舱容量（为常数）n1飞机经济舱容量（为常数）n2优等舱机票价钱（为常数）g1经济舱机票价钱（为常数）g2优等舱预约票数目的限额（为常数）m1(m1n1)经济舱预约票数目的限额（为常数）m2(m2n2)p每位乘客没来登机且未在48小时以前撤消订票的概率k1优等舱中定了票没有登机的乘客k2经济舱中定了票没有登机的乘客b1每位优等舱被挤掉者获取的赔偿金（为常数）b2每位经济舱被挤掉者获取的赔偿金（为常数）SlX

均匀利润机票订金占机票价钱的比重月份，初始值为x=1，四、模型假定1、各位乘客能否准时前来登机是互相独立的（这合用于独自行动的商人、游客）。2、每趟飞机预约票数目都大于飞机的实质座位数。3、飞翔花费与乘客人数没关，为一个固定的常数。4、优等舱与经济舱顾客未准时撤消订票的概率相等五、问题剖析与成立模型（1）方法一：剖析：由所给数据，用Matlab软件来拟合函数，再依据函数来展望经济舱机票的参照价钱。记2005年10月份为x=1，则05年11月份为x=2，以此类推。即：2005年10月为第一个月份，如：x=10，则表示06年7月拟合结果以下：由求解报告得悉：数学模型为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2)+a5*exp(-((x-b5)/c5)^2)+a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)a1=258.1(-4931,5447)b1=11.84(-21.32,45)c1=5.754(-30.07,41.58)a2=-763.3(-4.991e+006,4.989e+006)b2=9.738(-2804,2823)c2=35.18(-6.951e+004,6.958e+004)a3=1400(-7.956e+004,8.236e+004)b3=27.96(-3.621,59.55)c3=6.392(-96.3,109.1)a4=1255(-3.937e+005,3.962e+005)b4=61.28(-1.531e+010,1.531e+010)c4=1.48e+004(-2.162e+012,2.162e+012)a5=-3.035e+008(-2.53e+013,2.53e+013)b5=162(-7.08e+005,7.083e+005)c5=29.06(-1.042e+005,1.043e+005)a6=-1285(-9.511e+004,9.254e+004)b6=28.36(20.3,36.43)c6=4.848(-32.56,42.25)Goodnessoffit:SSE:2.234e+005R-square:0.8267AdjustedR-square:0.7448RMSE:78.78置信度为：95%。依据模型,由Matlab软件求得将来一年经济舱机票参照价钱以下表所示：时间价钱2010.047162010.056142010.064802010.073072010.08852010.09-1982010.102010.112010.122011.012011.022011.03展望的机票价钱从2010年9月起变为了负数，明显与实质不切合，所以该模型其实不可以帮助我们解决实质问题。方法二：剖析：我们产用最小二乘法中趋向外推法的周期颠簸模型来解题。季节型时间数列以日历时间为颠簸周期；循环型时间数列颠簸周期常常大于一年，且不稳固。只管二者有所差别，但都呈周期性颠簸，所以宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合颠簸规律。正弦曲线展望模型的一般形式为：只需对已知数据按上述各项要求加工填入此后，求解六元一次方程组，得入展望方程即可开始展望。用Matlab软件求出此问题中模型的系数。详细程序见附录一x0638.3877x17.2690解得系数x249.9355x358.0239x40.9938x50.4632

x~x，代05则将来一年内的经济舱机票的参照价钱可按以下模型计算~49.9355*cos(πx)yt658.0239sin(πx)0.9938*cos(πx)0.4632x*sin(πx)666用此模型我们得出的模型曲线以下（红色折线为实质票价走势，蓝色为经过计算得到的模型曲线）用Matlab软件依据模型给出将来一年内的经济舱机票的参照价钱（详细程序见附录二）时间价钱2010.049892010.0510652010.0611372010.0711872010.0812042010.0911842010.1011342010.1110692010.1210092011.019702011.029682011.031002比较方法二与方法一，明显用方法一所求的模型十分繁琐，详细计算时又特别得不方便。而方法二所求的的模型简短了然，便于计算，且置信度较高。所以舍弃方法一所求模型。综上所述：机票预定价钱的数学模型为：~πxyt638.38777.2690x49.9355*cos()658.0239sin(πx0.9938*πx)0.4632x*sin(πx)cos()666（2）剖析：展开预约票业务时，对于一次航班，若企业限制预约票的数目恰巧等于飞机的容量，那么因为总会有一些定了机票的乘客很可能因为各样原由撤消预约不准时前来登机，以致飞机因不满员飞翔而利润降低，甚至赔本。所以，航空企业常常会预约出超出实质座位数的机票数,以减低客户撤消预准时航空企业的损失。但是，这样做也存在着潜伏的风险：当持票前来的乘客超出飞机容量时，必定会惹起那些不可以飞走的乘客（本文简称被挤掉者）的诉苦，企业不论怎样挽救，也会以致名誉受损和必定的经济损失（如客源减少，付给必定的赔偿金等）。所以，航空企业一定综合考虑经济利益和社会名誉，确立预约票数目的最正确限额。成立模型：1、企业的经济利益能够用均匀利润S来权衡，每次航班的利润S为机票收入扣除飞翔花费和可能发生的赔偿金再加上一部分乘客因为没有在48小时以前撤消订票而交上的订金。设：优等舱中预约出了m1张票，飞机腾飞时，有k1位没有准时前来登机。经济舱中预约出了m2张票，飞机腾飞时，有k2位没有准时前来登机,且每位客户在48小时之前便撤消预定的概率为p，于是在48小时以内没有撤消预定的概率p,1p，已知预交的订金占机票价钱的l。优等舱：s1(m1k1)g1k1pg1l(m1k1n1)n1g1(m1n1k1)b1k1pg1l(m1k1n)经济舱：s2(m2k2)g2k2pg2l(m2k2n2)n2g2(m2n2k2)b2k2pg2l(m2k2n2)总利润:s(m)=s1+s2-r(1)由假定1，不准时登机且未在48小时以前退票的乘客数K符从二项散布，于是概率：pkip(kki)Cmkipkiqmki(q1p)均匀利润（即的希望）为SSm1n11m1S(m)[n1g1(m1k1n1)b1]pk(m1k1)g1pkk10k1m1n1m2n21m2[n2g2(m2k2n2)b2]pk(m2k2)g2pkk20k2m2n2(k1g1k2g2)plr(3)i化简（）式，并注意到kipkmi，（）可得3pi1,2ki0m1n11S(m)q1m1g1(g1b1)(m1k1n1)pkk102n21q2m2g2(g2b2)(m2k2n2)pkk20(k1g1k2g2)plr(4)当ni,gi,ri,p给定后能够求得mi使得S(m)最大。2、企业从社会名誉考虑，应当要求被挤掉的乘客尽量少。而因为被挤掉者的数目是随机的，能够用被挤掉的乘客数超出若干人的概率作为胸怀指标。记被挤掉的乘客数超出j人的概率为pj(m)，因为被挤掉的乘客数超出j，等价于m位预约票的乘客中不按时前来登机的不超出m-n-j-1人，所以：mnj1pi(m)pk(5)k0对于给定的n,j,明显当m=n+j时不会有被挤掉的乘客，即pj(m)=0。而当m变大时pj(m)单一增添。综上，S(m)和pj(m)固然是这个优化问题的两个目标，可是能够将pj(m)不超出某给定值作为拘束条件，以S(m)为单目标函数来求解。七、模型求解与结果的剖析查验和偏差剖析模型没法分析地求解，我们设定几组数据，用matlab软件作数值计算，结果以下，我们查阅资料，得悉以下数据比较切合实质状况。设：m125,m2330;n120,n2300;g11500,g21000;b13000,b22000;10万元，lp0.1;求得最大利润为20.12万元。当m130,m2350时求得最大利润为21.52万元。因为实质中有诸多要素不确立，可对超售票数造成影响（如天气状况对腾飞成本的影响，旺季时票价产生不正常颠簸）所以经过剖析和查验，用matlab软件计算得悉，当m1在区间（21,35）内，m2在区间（318,366）内变化时，都可能求得最大利润。八、模型的优化对机票预约限额模型的优化：考虑到不一样客源的实质需求，如商业界、文艺界人士喜爱这类无拘束条件的预定票业务，他们情愿接受更高的票价，而不准时前来登机的可能性较大；游客与准时上下班的雇员，会愿意以不准时前来登机则机票无效为代价，换取较低额的票价。所以，航空企业为了降低风险，能够把上述第2类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不可以准时前来登机即机票作废。设预定票数目m中有t张是特意预售给第二类乘客的，其折扣票价为g1(1)，（因为第二类乘客身份的特别性，所以只考虑他们购置经济舱的状况）当m-t位第1类乘客中有k位不准时前来登机时每次航班的利润s为（只对于经济舱）g1(1)st1g1(m1k1t1)g1(m1k1n1)t1g1(n1t1)g1(m1k1n1)b1(m1k1n1)k位乘客不准时前来登机的概率为pkk1kmktq1pCmtpq111,11均匀利润S为m1n11m1t1S（m）[t1[t1g1(m1k1t1)g1](n1t1)g1(m1k1n1)b1]pkk10k1m1n1m1t1[t1g1(m1k1t1)g1]pkrk1m1n1m1n11qm1g1r(g1b1)(m1k1n1)pk(1p)t1g1k11正常票价g1，折扣票价g1，利润调理因子（<1,且机票依据g1r/n1来订价，如=60%就表示飞机60%的满员率就不赔本）与飞翔花费r间的关系为[t1g1(n1t1)g1]r于是，单位花费获取的均匀利润为1m1n11J(m)[qm1(1p)t1(1b1/g1)(m1k1n1)pk]1(1[n1)t1]k10拘束条件被挤掉的乘客数超出j人的概率pj(m)不变取=0.75,t=50,100,150,其余结果同上，计算结果表示，当t增添时J（m），和Pj(m)均有所减少。st1g1(m1k1t1)g1(m1k1n1)t1g1(n1t1)g1(m1k1n1)b1(m1k1n1)k位乘客不准时前来登机的概率为pkCmk1tpkqm1k1t1,q1p11均匀利润为SSmm1n11[t1m1t1[t1g1(m1k1t1)g1](n1t1)g1(m1k1n1)b1]pk）（k10k1m1n1m1t1[t1g1(m1k1t1)g1]pkrk1m1n1m1n11qm1g1r(g1b1)(m1k1n1)pk(1p)t1g1k11正常票价g1，折扣票价g1，利润调理因子（<1,且机票依据g1r/n1来订价，如=60%就表示飞机60%的满员率就不赔本）与飞翔花费r间的关系为[t1g1(n1t1)g1]r于是，单位花费获取的均匀利润为1m1n11J(m)[qm1(1p)t1(1b1/g1)(m1k1n1)pk]1(1)t1][n1k10拘束条件被挤掉的乘客数超出j人的概率pj(m)不变取=0.75,t=50,100,150,其余结果同上，计算结果表示，当t增添时（），和JmPj(m)均有所减少。九、模型的评论与推行对机票展望价钱模型的评论与推行长处：经过图形就能够看出其价钱的走势与实质相像度很高。运用最小二乘法结构方程组解有关系数，并全面考虑截距、颠簸周期、颠簸幅度是使其精准度较高的主要原由。运用该模型能够在实质中较为正确地预计将来机票的价钱。弊端：不难发现每个周期事后，价钱都略有增添，但实质中价钱不行能永久增添下去。并且该模型没法预计非正常的数据，比方在旺季机票的价钱可能比平时会高出好几倍，在这类状况下就很难做出正确的展望。在随时间的增添中，偏差也会愈来愈大。所以在展望时能够不去考虑比较早时期的信息，只考虑要展望时间就近的30组数据这样会提升展望的正确度。对机票预约量限额模型的评论与推行评论：模型中把优等舱与经济舱的状况都做了考虑，并且是在不一样的状况下做的，在基本合理的假定下对一个两目标的问题做了简化办理，即便这样，获取的模型也没法分析地求解，幸亏，数值计算的结果以知足我们对问题进行剖析的要求。推行：与航空企业的预约票策略相像的事件在平时商务活动中其实许多见，旅店、汽车出租企业等为抢夺顾客也能够这样办理。十、参照文件【1】赵静，但琦，数学建模与数学实验（第2版），高等教育第一版社，20042】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育第一版社，20053】陈怀琛，吴大正，高西全，MATLAB及在电子信息课程中的应用（第2版），电子工业第一版社，20034】鞠彦兵冯允成王爱华，《航空客运超售风险研究》，北京航空航天大学学报，第25卷第5期：第1页2002年10月十一、附录附录一x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54]y=[656,526,502,482,498,632,688,720,640,688,768,736,802,726,672,732,662,780,802,878,794,926,1018,948,1016,916,824,738,806,872,894,966,878,1028,1100,978,1068,996,804,794,832,902,972,1014,916,986,1124,948,1056,872,796,884,808,856]x1=xx2=cos(pi.*x/6)x3=sin(pi.*x/6)x4=x.*cos(pi.*x/6)x5=x.*sin(pi.*x/6)A=[54,sum(x1),sum(x2),sum(x3),sum(x4),sum(x5);sum(x1),sum(x1.*x1),sum(x1.*x2),sum(x1.*x3),sum(x1.*x4),sum(x1.*x5);sum(x2),sum(x1.*x2),sum(x2.*x2),sum(x2.*x3),sum(x2.*x4),sum(x2.*x5);sum(x3),sum(x1.*x3),sum(x2.*x3),sum(x3.*x3),sum(x3.*x4),sum(x3.*x5);sum(x4),sum(x1.*x4),s