第10讲 点差法与定比点差法（解析几何）（原卷版）

第10讲点差法与定比点差法知识与方法1、点差法的原理(1)假设点在有心二次曲线上，且弦的中点为代入曲线,有,两式作差,得;左右两边同除以,得.变形得,其中为有心二次曲线的离心率(圆的离心率).（2）抛物线,任意弦的中点为代入曲线方程，有,两式作差,得,左右两边同除以,得.2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线,所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线.3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程（2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程（4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等.4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线,任意弦的中点,若当中点满足,则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）;若当中点满足或，则这样的双曲线的中点弦存在.5、定比分点若AM=λMB,则称点M为点A当λ>0时,点M在线段AB当λ<0(λ≠−1)时,点M定比分点坐标公式:若点Ax1,y16、定比点差法原理:若AM=λMB,AN=−λNB,则称定理:设A,B为有心二次曲线x2a2则一定有x证明:(1)设点A因为AM=则由定比分点坐标公式可得Mx将A,B代入曲线,有x(1)-(3),得x1这样就得到了1a2⋅(2)若点MxM,yM7、定比点差法基本题型(1)求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围;(2)简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题;典型例题点差法关于点差法的研究,在解析几何中有着广泛的应用,主要有以下四种基本题型.求以定点为中点的弦所在直线的方程【例1】已知双曲线x2−y22=1,过B(1,1)能否作直线l,使l求过定点的弦或平行弦的中点轨迹【例2】已知椭圆x24+y23=1的弦AB求与中点弦有关的圆锥曲线的方程【例3】已知中心在原点,一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l圆锥曲线上两点关于某直线对称问题【例4】已知椭圆x24+y2【例5】已知椭圆E:x2(1)求椭圆E的方程.(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A(−a,0),点Q0,y定比点差法关于点差法的研究,在解析几何中有着广泛的应用,下面主要从三方面来研究.求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围

求

|【例7】已知椭圆C:x2b2+y2a2=1(a>b>0)的上下两焦点分别为F1,(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知O为坐标原点,直线L:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题【例8】设椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q,满足|【例9】已知F1(−c,0),F2(c,0)为有心二次曲线E:x2a2±【例10】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的标准方程;(2)当

(3)设

【例11】已知椭圆x24+y23=1,点P(4,0),过点P作椭圆的割线【例12】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA【例13】已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆M的方程.(2)若k=1,求|(3)设P(−2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点【例14】已知点P(0,1),椭圆C:x24+y2=强化训练已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b已知椭圆x225+y2(1)求证:x(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.若拋物线C:y2=x上存在不同的两点关于直线l设F1,F2分别为椭圆x23+y2双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,A.2B.3C.5D.10已知椭圆x26