应用数理统计课件第2章(2)

§2.3区间估计注意：由子样的差异性，θ的估计，即使满足无偏性、有效性或是一致性，对子样值x1,…,xn，估计值也不是θ的真值。因此，人们更关注θ真值的范围。这正是参数区间估计。则称[θ1(X1,X2…,Xn)，θ2(X1,X2…,Xn)]为参数θ的置信度（置信概率或置信水平）为1－α

的置信区间。θ1置信下限，θ2置信上限。一、区间估计及其方法（一）区间估计概念：母体X的分布F(x,θ),θ是未知参数，子样X1,X2…,Xn，统计量θ1(X1,X2…,Xn)和θ2(X1,X2…,Xn)满足[θ1(X1,X2…,Xn)，θ2(X1,X2…,Xn)]包含θ的真值的概率为1－α，不含θ的真值的概率为α，如果α较小，用小概率原理，一次试验中不应该发生，故区间[θ1(x1,…,xn),θ2(x1,…,xn)]可作为θ真值的范围，当然把握程度为1－α。[注]

置信度1－α

的意义：对于子样值x1,…,xn，区间[θ1(x1,…,xn)，θ2(x1,…,xn)]可能包含θ的真值，也可能不包含，而（二）区间的估计方法1、θ的置信区间的理论公式的构造方法即构造[θ1(X1,…,Xn)，θ2(X1,…,Xn)]满足①W与θ有关，与其他未知参数无关；②W的分布为已知分布。（1）构造随机变量

满足：（2）确定两个数w1和w2，满足a/2a/21-aw1w2！w1和w2是a/2上侧分位数及概率对称点（3）用等价解出即[θ1(X1,…,Xn)，θ2(X1,…,Xn)]为所求例：置信区间。解：（1）由于，故μ的估计量为子样平均数，由此构造

设总体其中为已知参数，求参数μ的置信度为1－α

的（2）1-aa/2a/2由标准正态分布的上侧分位数定义得（3）由不等式得即μ的置信区间为1-aa/2a/2记为注意：（1）区间估计不唯一；1-a2a/3a/3此时有此时有即μ的置信区间为（2）双侧置信区间（有上、下限）：一般取概率对称区间，因为此时区间长度最短（因为是参数真值的范围，越小越好）置信区间长度为a/2a/22a/3a/3长度差

/

2

/

2长度差（3）单侧置信区间（仅有上限或仅有下限）的置信区间的构造方法此时有即μ的下限置信区间为故1-aa同理可构造仅有上限的置信区间。综合如下：1-aaa/2a/2a2、区间估计的计算方法：（2）依据母体的条件及子样的条件确定θ的置信区间的理论公式（P72）

[θ1(X1,…,Xn)，θ2(X1,…,Xn)]（3）对于子样值x1,x2…,xn

及置信度1－α

具体计算θ的范围

[θ1(x1,…,xn)，θ2(x1,…,xn)]（1）确定要估计的参数θ（一般为μ,

）例：已知某炼钢厂的铁水含碳量（%）在正常情况下服从正态分布，且

=0.108。现测量5炉铁水，其含碳量分别是4.284.404.424.354.37（%），试以置信概率95%对母体平均数μ进行区间估计（P50）解：要估计μ，由于母体是正态分布，且方差

已知，故μ的置信区间的公式为1－α=0.95，故α＝0.05，u0.025＝1.96对于子样值x1,x2…,xn有μ的置信区间为计算得代入有μ的置信区间为结论：以95%的概率保证铁水平均含碳量在4.269%至4.459%之间二、单母体均值μ及方差

的区间估计（一）单正态母体均值μ及方差

的区间估计＊单正态母体N(μ,

)的抽样分布一个母体参数的区间估计母体参数符号表示子样统计量均值μ比例p方差

1、μ的区间估计（1）方差(

２)

已知母体均值

在1-置信水平下的置信区间为α/2

α/2t【例】一家企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之间解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-=95%，u

/2=1.96。根据子样数据计算得：母体均值

在1-置信水平下的置信区间为母体均值

在1-置信水平下的置信区间为（2）方差(

２)

未知α/2

α/2t例：P71例91-＝0.95，t

(4)=t0.05(4)=2.1318解：母体正态且方差

２

未知，故

的单侧置信上限为母体均值

的95%的单侧置信上限，2、 母体方差

2的区间估计（

未知）母体方差

2在1-

置信水平下的置信区间为解：母体为正态分布，方差

2的无偏估计量为S*2，用卡方分布α/2α/2例：P67例7n=9，1-

＝0.9

计算得

2在90%置信水平下的置信区间为解：母体为正态分布，

2的置信区间为计算得

在90%置信水平下的置信区间为由于由于即（二）大子样（n

30）下母体均值μ的区间估计＊大子样下抽样分布（适用于任何分布）1、大子样下母体（分布不限）均值

在1-置信水平下的置信区间为例：P55n=200方差未知1-＝95%u0.025=1.96故

的置信区间为计算得

的置信上下限为即以95%的概率保证平均椭圆度在0.078至0.0842、0－1分布参数p（比例）的区间估计用故p的置信区间为由于0－1分布参数p恰好是母体均值μ,故p的置信区间为例：P56例3（估计次品率）n=100m=41-＝0.95，u0.025=1.96计算得p的置信上下限为p的置信区间是故p的置信区间为两个母体参数的区间估计母体参数符号表示子样统计量均值之差比例之差方差比三、两个母体参数的估计＊两个母体关于均值的抽样分布正态、独立大子样、独立大子样、独立（一）两个母体均值差

1-

2的估计1、两个母体都服从正态分布或大子样，且两母体方差1２、2２已知.

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为2、大子样，且两母体方差1２、2２未知.

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为特别：大子样，两个母体比例差p1-p2的估计由于p是0－1分布的数学期望p1-p2在1-

置信水平下的置信区间为用0－1分布的子样平均数及子样方差，得p1-p2在1-

置信水平下的置信区间为【例】P65两台机床加工同一种轴分别加工200根和150根，测量其椭圆度，经计算如右表，给定置信概率为95%，试求两台机床加工的轴的平均椭圆度差的置信区间。

两个子样的有关数据

子样1子样2n1=200n2=150S1=0.025

S2=0.062解:两母体均值之差在1-置信水平下的置信区间为

两台机床加工的轴的平均椭圆度间差的置信区间为0.0085~0.0295。【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差的置信区间。

12解:已知

n1=500，n2=400，m1/n1=45%，

m2/n2=32%，1-=95%，u/2=1.96

p1-p2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%＊两母体正态，方差1２＝2２下抽样分布令（1）两方差未知但相等：1２=2２3、两母体正态，方差1２、2２未知（小子样）

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为【例】为估计磷肥对某种农作物增产的作用，现选20条件大致相同的土地。10块不施磷肥，另外10块施磷肥得亩产量（单位：斤）如下表给定置信概率为95%，试对施肥与不施肥的平均差的置信区间。（正态方差相等）不施肥施肥56057062058059060057057056055065060057057060060058055063058021解:根据子样数据计算得

施肥与不施肥的平均亩产之差的置信区间为9~51斤。即施肥亩产至少比不施肥的亩产多9斤。（2）两方差未知且不相等：

12

22（略）1、 正态母体两母体子样方差抽样分布（二）两母体方差比的置信区间2、正态母体两母体方差比的估计α/2

α/2母体方差比

1２/2２在1-

置信水平下的置信区间为【例】有两个化验员A、B独立地对某种聚合物的含氯量用同样