山西省运城市高中联合体高三4月份模拟测试文科数学试卷

2021年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．13．执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A． B． C． D．4．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）5．已知函数f（x）＝，则f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e26．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．27．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则+的最小值为（）A．8 B．6 C．12 D．98．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．29．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]10．大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β．设OB＝4AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A．点A在某个定球面上运动 B．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值 C．可能在某个时刻，AB∥α D．直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（共4小题）.13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．15．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为．16．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》卷五记载：“今有刍甍（音：刍chú甍méng），下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（长度单位：丈）．则楔体PQ﹣ABCD的体积为（体积单位：立方丈）．三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圆半径为2，△ABC的边BC上的高h．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，MC＝2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求点D到平面PBC的距离．19．为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如表统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有99.5%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有1只为注射过疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k020．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；②求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函数f（x）在x＝0处有极大值，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。[选修44：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离．[选修45：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；（Ⅱ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：A∩B中的元素满足且x，y∈N*，由x+y＝8＞2x+1，可得且x∈N*，故A∩B中的元素为（1，7），（2，6），（3，5），共有3个．故选：B．2．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（）A． B． C．﹣1 D．1解：因为角θ的终边过点（1，﹣1），所以x＝1，y＝﹣1，r＝，所以＝sinθ＝＝＝﹣．故选：A．3．执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A． B． C． D．解：输入的ε为0.001，x＝1，S＝0，执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.05，x＝1，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，x＝，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S＝1+，x＝，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S＝1++，x＝，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S＝1+++，x＝，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S＝1++++，x＝，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S＝1+++++，x＝，不满足退出循环的条件；第七次执行循环体后，S＝1++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第八次执行循环体后，S＝1+++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第九次执行循环体后，S＝1++++++++，x＝，不满足退出循环的条件；第十次执行循环体后，S＝1+++++++++＝2﹣，x＝＜ɛ，满足退出循环的条件；则输出S＝2﹣，故选：C．4．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为＝0.4．故选：B．5．已知函数f（x）＝，则f（2021）＝（）A． B．2e C． D．2e2解：∵函数f（x）＝，∴f（2021）＝f（673×3+2）＝f（2）＝f（﹣1）＝e﹣1+ln2＝e﹣1×2＝．故选：A．6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．2解：取双曲线的右焦点F（c，0），取双曲线的渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，依题意得，即4b2＝a2，∴该双曲线的离心率e＝，故选：B．7．若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则+的最小值为（）A．8 B．6 C．12 D．9解：+＝+＝4++≥4+2＝12．（当且仅当a＝b时取“＝”）．故选：C．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．2解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，把该棱锥放入长为2、宽为1、高为1的长方体中，如图所示；则该四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝××（1+2）×1×1＝．故选：B．9．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]解：∵T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝8sin（2x﹣），当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴＜，解得﹣＜m≤；当x∈[，]时，2x﹣∈[m﹣，π]，∴≤m﹣＜π，解得≤m＜，综上所述：≤m≤，故选：B．10．大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β．设OB＝4AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A．点A在某个定球面上运动 B．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值 C．可能在某个时刻，AB∥α D．直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为解：因为点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β，所以OA＝，又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故A正确；作出简图如下，OB⊥l，所以θ+δ＝，故B正确；因为B∈α，所以不可能有AB∥α，故C不正确；设OB＝4a，则OB＝4a，，当AB⊥α时，直线OA与平面α所成角最大，此时直线OA与平面α所成角的正弦值为，故D正确．故选：C．11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，（m＞1），设切线的方程为y＝k1（x+a），与联立得，，由△＝0，则，同理，所以，因此．故选：B．12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数，即为y＝f（x）和y＝g（x）的图像在区间[﹣4π，4π]上的交点个数．分别作出y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣4π，4π]上的图像，结合图象可得它们有6个交点，故选：A．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卷中对应题号的横线上.13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．解：因为Sn＝n2an（n∈N*），所以当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）2an﹣1，故an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2an﹣（n﹣1）2an﹣1，整理可得，故•a1＝，当n＝1时，a1＝1也适合上式，故数列{an}的通项公式为．故答案为：．15．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为．解：设大圆的面积为S1，小圆的面积为S2，则S1＝16π，S2＝π，∴黑色区域的面积为＝，∴点落在黑色区域的概率为＝．故答案为：．16．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》卷五记载：“今有刍甍（音：刍chú甍méng），下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（长度单位：丈）．则楔体PQ﹣ABCD的体积为（体积单位：立方丈）5立方丈．解：将楔体PQ﹣ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥，则V三棱柱＝＝3立方丈，2V四棱锥＝＝2立方丈，故V楔体PQ﹣ABCD＝V三棱柱+2V四棱锥＝3+2＝5立方丈．故答案为：5立方丈．三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求A；（2）若b﹣c＝4，△ABC的外接圆半径为2，△ABC的边BC上的高h．解：（1）因为，可得（a+b）（sinA﹣sinB）＝sinC（c﹣b），由正弦定理可得（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），整理可得a2＝b2+c2﹣bc，所以cosA＝＝＝，又A∈（0，π），可得A＝．（2）因为△ABC的外接圆半径为2，由正弦定理可得＝2R＝4，即a＝4sin＝6，由余弦定理可得2＝b2+c2﹣bc＝（b﹣c）2+bc＝16+bc＝36，所以bc＝20，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝，可得h＝＝＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，MC＝2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD＝2，PD＝3，求点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，∵四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，MC＝2PM，∴MO∥PD，OD＝，∴ODAB，∴AD∥BO，∵AD∩PD＝D，BO∩MO＝O，AD、PD⊂平面ADP，BO、MO⊂平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM⊂平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD＝2，PD＝3，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，∴BD＝＝，∴BD2+AB2＝AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），＝（），＝（），＝（0，3，﹣3），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，3，3），∴点D到平面PBC的距离d＝＝＝．19．为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如表统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有99.5%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有1只为注射过疫苗的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（1）由题意可知，解得p＝60，∴q＝40，x＝y＝100，∴2×2列联表如下表所示：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗4060100注射疫苗6040100总计100100200∴＝8＞7.879，∴有99.5%的把握认为注射此疫苗有效．（2）设“恰有1只为注射过疫苗”为事件A，由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例＝抽取，∴抽取的5只小白鼠中有3只未注射疫苗，分别用1，2，3来表示，2只已注射疫苗的小白鼠分别用a，b来表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：（1，2，3），（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（1，a，b），（2，3，a），（2，3，b），（2，a，b），（3，a，b），共10种，其中恰有1只为注射过疫苗有：（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（2，3，a），（2，3，b），共6种，∴P（A）＝＝，即恰有1只为注射过疫苗的概率为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；②求△OPQ面积的最大值．解：（1）由题意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣，x1x2＝，设直线OP，PQ，OQ的斜率为k1，k，k2，因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，所以k1+k+k2＝0，即++k＝++k＝3k+＝3k+m•＝＝0，所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，所以直线l恒过定点（0，）；②由①可得：|PQ|＝•＝，原点到直线的距离d＝＝，所以S△POQ＝|PQ|•d＝＝＝，因为+，当且仅当＝时，即4k2﹣2＝3，即k2＝时取等号，所以S△POQ≤1，即△OPQ面积的最大值为1．21．已知函数f（x）＝ex﹣x﹣axln（x+1）﹣1．（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）函数f（x）在x＝0处有极大值，求a的取值范围．解：（1）∵a＝0，∴f（x）＝ex﹣x2﹣1，则f'（x）＝ex﹣1，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0；∴f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴f（x）min＝f（0）＝0．（Ⅱ）．设g（x）＝f'（x），则．当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x∈（﹣1，0）时，g（x）＜g（0）＝0；x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）＝0，∴f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞