数学分析试题解析

2014---2015学年度第二学期《数学剖析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一.判断题（每题3分，共21分）(正确者后边括号内打对勾，不然打叉)1.若fx在a,bfxa,bfxdx可表为x）连续，则在上的不定积分ftdtC（a.2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdxfxdxgxdx（）.3.若fxdx绝对收敛，agxdx条件收敛，则a[fxgx]dx必定条件收敛a（）.4.若fxdx收敛，则必有级数fn收敛（）11若fn与gn均在区间I上内闭一致收敛，则fngn也在区间I上内闭一致收敛）.6.若数项级数an条件收敛，则必定能够经过适合的重排使其发散于正无量大（）.1任何幂级数在其收敛区间上存在随意阶导数，而且逐项求导后获得的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数同样（）..单项选择题（每题3分，共15分）1.若fx在a,b上可积，则下限函数axdx在a,b上（f）xA.不连续B.连续C.可微D.不可以确立2.若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相等，则（）A.fx在a,b上必定不行积；B.fx在a,b上必定可积,可是bbfxdxgxdx；aaC.fx在a,b上必定可积，而且bbfxdxgxdx；aafx在a,b上的可积性不可以确立.3.级数11n1nn2n1A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确立4.设un为任一项级数，则以下说法正确的选项是（）A.若limun0，则级数un必定收敛；nB.若limun11，则级数un必定收敛；nunC.若N,当nun11，则级数un必定收敛；N时有，unD.若N,当nun11，则级数un必定发散；N时有，un5.对于幂级数anxn的说法正确的选项是（）A.anxn在收敛区间上各点是绝对收敛的；B.anxn在收敛域上各点是绝对收敛的；C.anxn的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.anxn在收敛域上是绝对而且一致收敛的；三.计算与求值（每题5分，共10分）1.lim1nn1n2nnnlnsinxdxcos2x.判断敛散性（每题5分，共15分）1.3x1dx01xx2n!2.n1nn3.1n2nn1n12n五.鉴别在数集D上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.fnxsinnx,n1,2,D,n2.n2D,22,xn六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（此题满10分）七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(此题满分10分)八.证明：函数fxcosnx在,上连续，且有连续的导函数.（此题满分9分）n32014---2015学年度第二学期《数学剖析2》B卷答案学院班级学号（后两位）姓名题号二三四五六七八总分核分人一得分一、判断题（每题3分，共21分，正确者括号内打对勾，不然打叉）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?.单项选择题（每题3分，共15分）B;2.C;3.A;4.D;5.B.求值与计算题（每题5分，共10分）1xn1.lim3dxx3sin2n0xe2x1xn1解：因为03dx3xndx-------------------------3分0x3sin2xe2x01n11而lim3dx0---------------------------------4分0xlimn1nnn13故由数列极限的迫敛性得：1xnlim3dx0-------------------------------------5分0nx3sin2xe2x2.设fsin2xx，求1xfxdxsinxx解：令xsin2t得x1x

fxdx=sin2tfsin2tdsin2t----------------2分1sin2t=sintt2sintcostdtcostsint=2tsintdt-----------------------------------4分=2tcost2sintC=21xarcsinx2xC---------------5分.鉴别敛散性（每题5分，共10分）1arctanxdx1x2解：lim11arctanxlimarctanx-------3分x21x21xx10x1042且p11，由柯西鉴别法知，2瑕积分1arctanx分1dx收敛-------------------------50x22.1n2lnnlnn解：limlnn,n0N,当nn0时n有lnne2-----------------------------2分进而当nn011-------------------------------4分lnnlnnn2由比较鉴别法1收敛----------------------------5分n2lnnlnn五.鉴别在所示区间上的一致收敛性（每题5分，共15分）1.fnxx1,n1,2,D0,n2解：极限函数为fxlimfnxxxD-----------------------2分n又fnxfxx1x1/n21--------3分n2x1nn2x进而limsupfnf0n故知该函数列在D上一致收敛.-------------------------5分2.2nsinx,D[1,1]3n2nsinxn解：因当xD时，unx2--------------2分3n32n而正项级数收敛，4分3由优级数鉴别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分1n,D,3.nx2解：易知，级数1n的部分和序列Sn一致有界，---2分而对xD,Vnx1是单一的，又因为x2nxD,Vnx110n，------------------4分x2nn因此vnx1在D上一致收敛于0，nx2进而由狄利克雷鉴别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分六.设平面地区D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（此题满分10分）解：解方程组x2y22得圆x2y22与抛物线y2在第一象限yx2x的交点坐标为：1,1，---------------------------------------3分则所求旋转体得体积为：12y2dy1-------------------------------7分Vydy00=------------------7------------------------------------------------------10分=6.现有向来径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽视不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（此题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向成立直角坐标系则剖析可知做功微元为：dW52xdx25xdx--------------------------------5分故所求为：W21510xdx8分0-------------------------------------=1250=12250（千焦）-----------------------------------10分八．设unxn1,2是[a,b]上的单一函数，证明：若una与unb都绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛.（此题满分9分）证明：unxn1,2是[a,b]上的单一函数，因此有unxunaunb------------------------------4分又由una与unb都绝对收敛，因此unaunb收敛，--------------------------------------7分由优级数鉴别法知：unx在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------2013---2014学年度第二学期《数学剖析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一.判断题（每题2分，共16分）(正确者后边括号内打对勾，不然打叉)1.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上可积.()2.若函数f(x)在[a,b]上有无量多个中断点，则f(x)在[a,b]上必不行积。（）3.若f(x)dx与g(x)dx均收敛，则[f(x)g(x)]dx必定条件收敛。（）aaa4.若fnx在区间I上内闭一致收敛，则fnx在区间I到处收敛（）5.若an为正项级数（an0），且当nn0时有：an11，则级数an必发散。n1ann1（）6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：an12xcosnxdx（）f07.若ans，则anan12sa1（）n1n18.幂级数在其收敛区间上必定内闭一致收敛。（）.单项选择题（每题3分，共18分）1.以下广义积分中，收敛的积分是（）11B1Adx1dx0xx

CsinxdxD11dx01x32.级数an收敛是an部分和有界的（）n1n1A必需条件B充分条件C充分必需条件D没关条件3.正项级数un收敛的充要条件是（）A.limun0B.数列un单一有界nC.部分和数列sn有上界D.limnn11nun4.设liman1a则幂级数anxbnb1的收敛半径R=（）nan1111bA.aB.abC.D.aa5.以下命题正确的选项是（）an(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛n1an(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛n1C若lim|an(x)|0，则an(x)在[a,b]必绝对收敛nn1an(x)在[a,b]条件收敛必收敛n16..若幂级数anxn的收敛域为1,1,则幂级数anxn在1,1上A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导三.求值或计算（每题4分，共16分）xx1lnxdx；2.1dxsinxcosx1xxexdx.3．14.设fx在[0,1]上连续，求lim1fnxdxn0四.（16分）鉴别以下失常积分和级数的敛散性.dx1.；132x43x2312.dx01xln(1x)3.lnnnn；n214.enn!nnn1五、鉴别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.fn(x)x2n4,n1,2,;x(,)2.2(1)n1；xD,0.50.5,3nxnn1六.应用题型（14分）1.一容器的内表面为由yx2绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（m3），若再加水7（m3），问水位高升了多少米？2.把由yex，x轴，y轴和直线x0所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积V，并求知足条件Va1的a.limV2七．证明题型（10分）已知fx与gx均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有fxgx，但fx不恒等于gx，证明：2013---2014学年度第二学期《数学剖析2》B试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一、判断题（每题2分，共18分，正确者括号内打对勾，不然打叉）1.对任何可导函数fx而言，fxdxfxC成立。（）2.若函数fx在a,b上连续，则Fxbtdt必为fx在a,bf上的原函数。（）x3.若级数an收敛，必有limnan0。（）n1x4.若limnan1，则级数an发散.nn15.若幂级数anxn在x2处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（）1假如fx在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有bxdxbffxdx.（）aa7.设fx在1,上有定义，则1fxdx与级数fn同敛散.（）n1b8.设fx在a,b任子区间可积，b为fx的暇点，则afxdx与1fb112dt同敛散.（）batt9.设fnx在Da,x0x0,b上一致收敛，且limfnxannN存在，则xx0limlimfnxlimlimfnx.nxx0xx0n二.单项选择题（每题3分，共15分）1.函数f(x)在[a,b]上可积的必需条件是（）A连续B有界C无中断点D有原函数2.以下说法正确的选项是（）A.an和bn收敛，anbn也收敛n1n1n1B.an和bn发散，(anbn)发散n1n1n1C.an收敛和bn发散，(anbn)发散n1n1n1D.an收敛和bn发散，anbn发散n1n1n13.an(x)在[a,b]收敛于a(x)，且an(x)可导，则（）n1A.an(x)axB.a(x)可导n1C.ban(x)dxbD.an(x)一致收敛，则a(x)必连续aa(x)dxan1n11n11n4.级数n2n1A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确立5.幂级数2n2xn的收敛域为：n01nA.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.0.5,0.5D.0.5,0.5三.求值与计算题（每题4分，共16分）1.sinxcosxdx2sin2x2.xdxxx213.lim1nnn1nn1nn4.b2xabdxa四.鉴别敛散性（每题4分，共16分）1.xarctanxdx；1x311xdx2.01x3.nn11n1n1.n4.n1cos1n1n五.鉴别在所示区间上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.fnx1(n1)x,0x1/(n1)0,1/(n1)xn1,2,.x0,111n12.x(,)2n)nn1(x六.应用题型（16分）1.试求由曲线yx2及曲线y2x2所平面图形的面积.1cosx将0x2dx表达为级数形式，并确立前多少项的和作为其近似，可使之偏差不超出十万分之一.七.（9分）证明：若函数项级数

un

x知足：（ⅰ）

x

D,

un

(x)

an

n

1,2

；（ⅱ）

an

收敛.则函数项级数

un

x在

D上一致收敛.014---2015学年度第二学期《数学剖析2》A卷答案.判断题（每题3分，共21分）?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.单项选择题（每题3分，共15分）B,C,C,D,A三.计算与求值（每题5分，共10分）1.解：原式=limn11121nnnnnnk1=limexpln1---------------------------2分nk1nnnk1=explimln1-------------------------3分nk1nn=exp2---------------------------51lnxdx=4e1分2.原式=lnsinxdtanx-------------------------------2分=lnsinxtanxtanxcotxdx--------------------4分=lnsinxtanxxC---------------------------5分四.判断敛散性（每题5分，共15分）1.33x132limx22----------------------------分x1xx且p31---------------------------------3分2由柯西鉴别法知，3x1dx收敛。---------5分01xx2由比式鉴别法ann1!n1n11lim1lim11-----4分ann!limennn11/nnn故该级数收敛.-------------------------------5分3.解：由莱布尼兹鉴别法知，交织级数1n收敛-----------2分n1n又02n111知其单一且有界，---------4分12n2n1故由阿贝尔鉴别法知，级数收敛.--------------------------------5分五.1.解：极限函数为fxlimfnx0xD---------------------2分n又fnxfxsinnx14分nn---------------------------------limsupfnf0故知该函数列在D上一致收敛.-----------5分n2.解：因当xD时，unn2n2n2----------------------3分xxn2nxn2而正项级数nn收敛，-----------------------------4分2由优级数鉴别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（此题满分10分）解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：Sx1R2x2tan300R2x2--------------------------------5分2故所求立体的体积为：VR3R2x2dx------------7分=23R3-------10分R69七.解：成立图示坐标系(竖直方向为x轴)则第一象限等腰边的方程为xy10------------------------------------3分压力微元为：dF210x10xdx2100x2dx故所求为F210x2dx7分10001333.33吨13066.67千牛------10分八.证明：uncosnxn1,2每一项在,上连续，xn3又unxcosnx1而1n3n3n3收敛因此cosnx在,上一致收敛，-------------------------------3分n3故由定理结论知fxcosnx在,上连续，------------------------------5分n3再者unxsinnx1而1收敛n2n2n2因此unx在,上一致收敛，联合unx在,上的连续性可知fxcosnx在,上有连续的导函数.----------------9分n32014---2015学年度第二学期《数学剖析2》B试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分二、判断题（每题3分，共21分，正确者括号内打对勾，不然打叉）1.若fx为偶函数，则fxdx必为奇函数（）.2.ysgnx为符号函数，则上限函数x）.y=sgntdt在,上连续（a3.若fxdx收敛，必有limfx0（）.ax4.若fn在区间I上内闭一致收敛，则fn在区间I上到处收敛（）.5.若un(x)在a,b上内闭一致收敛，则un(x)在a,b上一致收敛（）.n1n16.若数项级数an绝对收敛，则经过随意重拍后