2023高考理科数学模拟试题

高考理科数学模拟试题（二）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案对的填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一种选项符合题意)1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3] B．（1，3] C．[1，3） D．（1，3）2．若2﹣i是有关x的方程x2+px+q=0的一种根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．33．已知p：函数fx=(a-1)x为增函数，q：∀x∈1A．充足不必要条件 B．必要不充足条件C．充要条件 D．既不充足也不必要条件4．高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行记录，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是（）A． B． C． D．5．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，均有，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增长时，多边形面积可无限迫近圆的面积，并创立了“割圆术”．运用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是运用刘徽的“割圆术”思想设计的一种程序框图，则输出n的值为（参照数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．487．已知如图是一种空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞aD．a＞c＞b9．在二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项的系数等于320，则=（）A．e2﹣e+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+210．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A． B． C． D．11．双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A． B． C．2 D．12．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若fm-f1-mA．（﹣∞，1] B． C．[1，+∞） D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是．14．已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=．15．对于数列{an}，定义Hn=为{an}的“优值”，目前已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能获得最小值，当x=时函数y=f（x）能获得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节)17．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{bn}与否为等比数列？并阐明理由．18．（12分）某企业计划明年用不超过6千万元的资金投资于当地养鱼场和远洋捕捞队．通过当地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研成果是：年利润率为60%的也许性为0.6，不赔不赚的也许性为0.2，亏损30%的也许性为0.2．假设该企业投资当地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．（1）运用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．（2）为保证当地的鲜鱼供应，市政府规定该企业对当地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的二分之一．合用调研数据，给出企业分派投资金额的提议，使得明年两个项目的利润之和最大．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：与否存在直线AB，使得S1=S2？阐明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的一般方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．（10分）设函数f（x）=|2x﹣7|+1．（1）求不等式f（x）≤x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．

高考理科数学模拟试题（二）参照答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3] B．（1，3] C．[1，3） D．（1，3）【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B=（1，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．【点评】本题考察交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若2﹣i是有关x的方程x2+px+q=0的一种根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【分析】直接运用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是有关x的实系数方程x2+px+q=0的一种根，∴2+i是有关x的实系数方程x2+px+q=0的另一种根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考察实系数一元二次方程的虚根成对原理，考察复数模的求法，是基础题．3．已知p：函数fx=(a-1)x为增函数，q：∀x∈1A．充足不必要条件 B．必要不充足条件C．充要条件 D．既不充足也不必要条件【分析】p：函数f（x）=（a﹣1）x为增函数，则a﹣1＞1，解得a范围.q：∀x∈12,1,ax-1≤0【解答】解：p：函数f（x）=（a﹣1）x为增函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．q：∀x∈12,1,ax-1≤0，a=1．￢q：a则p是￢q的充足不必要条件．故选：A．【点评】本题考察了函数的单调性、不等式的性质与解法、简易逻辑的鉴定措施，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．4．高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行记录，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是（）A． B． C． D．【分析】由题意，英语成绩超过95分的概率是，运用互相独立事件的概率公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，英语成绩超过95分的概率是，∴在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是=，故选：D．【点评】本题考察正态分布，考察互相独立事件的概率公式，比较基础．5．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，均有，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．【分析】根据f（+x）=f（﹣x）确定x=是函数f（x）的对称轴，再由正余弦函数在其对称轴上取最值，求得g（）的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，均有，∴函数f（x）的一条对称轴方程为x=，且x=时函数f（x）过最高点或最低点；∴cos（ω+φ）=±1，解得ω+φ=kπ，k∈Z；∴g（）=3sin（ω+φ）﹣2=3sinkπ﹣2=﹣2．故选：C．【点评】本题重要考察了三角函数的图象与性质的应用问题，注意正余弦函数在其对称轴上取最值．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增长时，多边形面积可无限迫近圆的面积，并创立了“割圆术”．运用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是运用刘徽的“割圆术”思想设计的一种程序框图，则输出n的值为（参照数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．48【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考察循环框图的应用，考察了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．7．已知如图是一种空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π【分析】由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的构造特性，求出它的半径，代入表面积公式进行求解．【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，直三棱锥的高是2，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，故外接球的表面积是4πR2=8π，故选A．【点评】本题考察球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考察空间想象能力，计算能力．8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】由条件可得函数的周期为2，再根据a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），c=f（0.5）=f（﹣0.5），﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，可得a，b，c大小关系【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．由于a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），c=f（0.5）=f（﹣0.5），﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴a＞c＞b，故选：D【点评】本题重要考察函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中等题．9．在二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项的系数等于320，则=（）A．e2﹣e+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+2【分析】二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项，运用通项公式求出具有x2的项，可得系数，从而求出a，运用定积分公式求解即可．【解答】解：二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项，由通项公式，∵含x2项，∴r=3．∴具有x2的项的系数为=320，可得：a=2．则==e2﹣e+22﹣1=e2﹣e+3．故选：A．【点评】本题重要考察二项式定理的通项公式的应用，以及定积分公式的计算．属于基础题10．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A． B． C． D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C11．双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A． B． C．2 D．【分析】根据双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，可得a，b的关系，代入化简，运用单调性，即可求得的最小值．【解答】解：∵双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，∴∴∴b2=3a2∴==∵a≥1∴在[1，+∞）上单调增∴≥故选A．【点评】本题考察双曲线的几何性质，考察函数的单调性，对的运用双曲线的几何性质是关键．12．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若fm-f1-mA．（﹣∞，1] B． C．[1，+∞） D．【分析】令g（x）=f（x）+2x﹣，求得g（x）+g（2﹣x）=3，则g（x）有关（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，再由导数可知g（x）在R上为减函数，化fm-f1-m≥32-3m为g（m）≥【解答】解：令g（x）=f（x）+2x﹣，g′（x）=f′（x）+2﹣x，当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．∴当x≤1时，g（x）为减函数，而g（2﹣x）=f（2﹣x）+2（2﹣x）﹣，∴f（x）+f（2﹣x）=g（x）﹣2x++g（2﹣x）﹣2（2﹣x）+=g（x）+g（2﹣x）+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1．∴g（x）+g（2﹣x）=3．则g（x）有关（1，）中心对称，则g（x）在R上为减函数，由fm-f1-m≥32-3m，得f（m）+2m≥f（1﹣m）+2（即g（m）≥g（1﹣m），∴m≤1﹣m，即m．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．【点评】本题考察运用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是1﹣．【分析】根据题意，记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案【解答】解：记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”，三边长分别为5m、5m、6m的三角形的面积为S=×6×4=12，则事件构成的区域可组合成一种半圆，其面积为S（）=π×22=2π，由几何概型的概率公式得P（）=；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣【点评】本题考察几何概型，波及对立事件的概率性质；解题时关键是求出小狗与三角形三个顶点的距离均不超过2m区域面积．14．已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=2．【分析】设点P（x，y），由P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点，用x表达，写出•的解析式；根据•恒为定值，x的系数为0，求出m、n的关系，可得的值．【解答】解：设点P（x，y），∵点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点，∴y=2﹣2x，∴=（x，2﹣2x）；又非零向量=（m，n），∴•=mx+n（2﹣2x）=（m﹣2n）x+2n恒为定值，∴m﹣2n=0，∴=2．故答案为：2．【点评】本题考察了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．15．对于数列{an}，定义Hn=为{an}的“优值”，目前已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．【分析】由题意，Hn==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1an=n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=（n﹣1）2n，相减可得an=2（n+1），对a1也成立，可得an﹣kn=（2﹣k）n+2．由于数列{an﹣kn}为等差数列，Sn≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0，即可得出．【解答】解：由题意，Hn==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1an=n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=（n﹣1）2n，则2n﹣1an=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n，则an=2（n+1），对a1也成立，故an=2（n+1），则an﹣kn=（2﹣k）n+2，则数列{an﹣kn}为等差数列，故Sn≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．【点评】本题考察了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考察了推理能力与计算能力，属于中等题．16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能获得最小值，当x=时函数y=f（x）能获得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为﹣．【分析】根据x=﹣时f（x）获得最小值，x=时f（x）获得最大值，得出（n+）•T=，求出T以及ω的值；再由f（x）在（，）上单调，得出T以及ω的取值；讨论ω的取值，求出满足条件的ω的最大值以及对应φ的值．【解答】解：当x=﹣时f（x）能获得最小值，x=时f（x）能获得最大值，∴（n+）•T=﹣（﹣），即T=，（n∈N）解得ω=4n+2，（n∈N）即ω为正偶数；∵f（x）在（，）上单调，∴﹣=≤，即T=≥，解得ω≤12；当ω=12时，f（x）=cos（12x+φ），且x=﹣，12×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=0，此时f（x）=cos12x在（，）不单调，不满足题意；当ω=10时，f（x）=cos（10x+φ），且x=﹣，10×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=﹣，此时f（x）=cos（10x﹣）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为10，此时φ的值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考察了余弦型函数的图象和性质的应用问题，也考察了转化思想与分类讨论思想的应用问题，难度较大．三．解答题（共7小题，满分70分）17．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{bn}与否为等比数列？并阐明理由．【分析】（Ⅰ）由S11=11a6=143，得a6=13，由a5+a6=24，得a5=11，从而d=2，进崦{an}的通项公式是an=2n+1（n∈N*），再由，能求出前n项的和．（Ⅱ）由a1=3，，，得b1=7；当n≥2时，，从而bn+1=4bn（n≥2．若{bn}是等比数列，则有b2=4b1，与b2=4b1矛盾，从而得到数列{bn}不是等比数列．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由S11=11a6=143，∴a6=13．又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，因此{an}的通项公式是an=2n+1（n∈N*），因此，从而前n项的和为：===．…（6分）（Ⅱ）由于a1=3，，．当n=1时，b1=7；当n≥2时，；因此bn+1=4bn（n≥2．若{bn}是等比数列，则有b2=4b1，而b1=7，b2=12，因此与b2=4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列．…（12分）【点评】本题考察数列的通项公式、前n项和的求法，考察数列与否是等比数列的判断与求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．18．（12分）某企业计划明年用不超过6千万元的资金投资于当地养鱼场和远洋捕捞队．通过当地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研成果是：年利润率为60%的也许性为0.6，不赔不赚的也许性为0.2，亏损30%的也许性为0.2．假设该企业投资当地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．（1）运用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．（2）为保证当地的鲜鱼供应，市政府规定该企业对当地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的二分之一．合用调研数据，给出企业分派投资金额的提议，使得明年两个项目的利润之和最大．【解答】解：（1）随机变量ξ的也许取值为0.6y，0，﹣0.3y，随机变量ξ的分布列为，ξ0.6y0﹣0.3yP0.60.20.2∴Eξ=0.36y﹣0.06y=0.3y；（2）根据题意得，x，y满足的条件为①，由频率分布直方图得当地养鱼场的年平均利润率为：﹣0.3×0.2×0.5+（﹣0.1）×0.2×0.5+0.1×0.2×1.0+0.3×0.2×2.0+0.5×0.2×1.0=0.20，∴当地养鱼场的年利润为0.20x千万元，∴明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y，作出不等式组①所示的平面区域若下图所示，即可行域．当直线z=0.2x+0.3y通过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得∴z的最大值为：0.20×2+0.30×4=1.6千万元．即企业投资当地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．【分析】取CB的中点G，连结DG，建立空间直角坐标系：（1）=（12，0，0）为平面PAD的一种法向量，根据，进而可证EF∥面PAD（2）平面PAD的法向量=（5，﹣12，0），代和线面夹角公式，可得答案．【解答】证明：取CB的中点G，连结DG，由于AD∥BG且AD=BD，因此四边形ABGD为平行四边形，因此DG=AB=12，又由于AB⊥AD，因此DG⊥AD，又PD⊥平面ABCD，故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系．…（2分）由于BC=10，AD=5，PD=8，因此有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），由于E，F分别是PB，DC的中点，因此E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），（1）由于PD⊥平面ABCD，DG⊂平面ABCD，因此PD⊥DG，又由于DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，因此DG⊥平面PAD，因此=（12，0，0）为平面PAD的一种法向量，…（4分）又=（0，5，4），=0，因此，又EF⊄平面PAD，因此EF∥平面PAD；…（6分）（2）设平面PAD的法向量为=（x，y，z），因此，即，即，令x=5，则=（5，﹣12，0）…（9分）因此EF与平面PDB所成角θ满足：sinθ===，…（11分）因此EF与平面PDB所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考察的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度中等．20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：与否存在直线AB，使得S1=S2？阐明理由．【分析】（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再运用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，确定G，D的坐标，运用△GFD∽△OED，即可得到结论．【解答】解：（1）由于|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，因此2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，因此a=2．…（2分）又由于c=1，因此b2=3，…（3分）因此椭圆C的方程为．…（4分）（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）将其代入，整顿得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），因此．故点G的横坐标为．因此G（，）．…（6分）由于DG⊥AB，因此×k=﹣1，解得xD=，即D（，0）…（8分）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|因此，…（10分）整顿得8k2+9=0．由于此方程无解，因此不存在直线AB，使得S1=S2．…（12分）【点评】本题考察直线与椭圆的位置关系，考察韦达定理的运用，考察学生分析处理问题的能力，属于中等题．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解有关导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）得到ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的详细范围即可；【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则f′（x）=﹣+1．令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，