余弦定理-完整版公开课教学设计

余弦定理（2）教材分析：地位及作用“余弦定理”是人教A版数学必修5主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。学情分析：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。教学目标：掌握余弦定理．进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．教学重点：余弦定理的应用；教学难点：运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．教学过程：一、复习回顾余弦定理的两种形式（一）a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c22bc2ab2ca（二）cosA= ，cosB ，cosC= .2bc2ab2ca、学生活动探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．三、数学应用1．例题．例1A,B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C,测得CA=182m,CB=126m,/ACB=63。，求A,B两地之间的距离(精确到1m).解由余弦定理，得AB2=CA2+CB2—2CA•CBcosC=182。+126。—2x182x126cos63。氏28178.18TOC\o"1-5"\h\zAb :B所以，AB氏168(m). '、,、 /答：A,B两地之间的距离约为168m. /例2在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流.一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.曲后到达江北岸B码头.设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15。,并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行速度是多少(角度精确到0.1。,速度精确到0.1km/h)解如图，船按AD方向开出，AC方向为水流方向，以AC为一边、AB为对角线作平行四边形ACBD,其中AB=1.2(km),AC=5x0.1=0.5(km).在AABC中，由余弦定理，得BC2=1.22+0.52—2x1.2x0.5cos(90。一15。)氏1.38所以AD=BC氏1.17(km).因此，船的航行速度为1.17+0.1=11.7(km/h).在AABC中，由正弦定理，得sin/ABC=sin/ABC=ACsin/BAC

BC0.5sin75。

07氏0.4128所以 /ABC=24.4。所以 /DAN=/DAB—/NAB=/ABC—15。29.4。.

答：渡船应按北偏西9.4。的方向，并以11.7km/h的速度航行.例3在AABC中，已知sinA=2sinBcosC,试判断该三角形的形状.解由正弦定理及余弦定理，得sinAsinBb-a2+b2-c2sinAsinBbcosC= 2ab所以a=2x竺节广，整理,得b2=c2因为b>0,c>0,所以b=c.因此，AABC为等腰三角形.例4在AABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，试判断AABC的形状.解由acosA+bcosB=ccosC及余弦定理，得整理b2+c2整理b2+c2-a2 c2+a2-b2a2+b2-c2a义 +b* =c义 ,2bc2ca2ab得c4=(a2-b2)2,a2-b2=c2或a2-b2=-c2,所以a2=b2+c2或a2+c2=b2,所以所以A所以AABC为直角三角形.证明：设/AMB证明：设/AMB=a,则/AMC=180o-a,在AABC中，由余弦定理，得例5如图，AM是AABC中BC边上的中线，求证:, 1■— ---———AM=-v2(AB2+AC2)-BC2.^2AB2=AM2+BM2—2AM•BMcosa.在AACM中，由余弦定理，得AC2=AM2+MC2—2AM-MCcos(180o-a).因为cos(180o-a)=-cosa,BM=MC=1BC,2所以AB2+AC2=2AM2+1BC2,2因此，AM=1；2(AB2+AC2)-BC2.^2

2练习．(1)在AABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC等于()A2 b_2c_1d_1・ ・ ・ ・3 3 3 4(2)如图，长7m的梯子BC靠在斜壁上，梯脚与壁基相距.5m,梯顶在沿着壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角a精确到0.1。.(3)在AABC中，已知a=2,b=3,C=60。，试判断此三角形的形状.(4)在AABC中，设CB=a,AC=b,且|a|=2,|b|=<3,a•b=一”,