分块矩阵的行列式的恒等式

分块矩阵的行列式的恒等式

1、分块矩阵的恒等式在这项工作中，我们讨论了使用块矩阵来简化行列方程的计算。在这项工作中，我们继续研究块矩阵行列方程的恒等式。用表示m阶单位阵,表示n阶单位阵,文献中的三个引理本文仍沿用。2、初等变换类型(1)定义:设M为一个四分块矩阵,对M进行互换两行(两列);某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P;把某一行(列)左(右)乘一个矩阵的结果加到另一行(列)。这三种初等变换称为分块矩阵的初等变换。(2)、分块初等矩阵:对单位矩阵作如下进行分块[EmΟΟEn],然后对它作一次分块初等变换所得的矩阵,称为分块初等矩阵。如[ΟEnEmΟ]‚[ΡΟΟEn]‚[EmΡΟEn]‚[EmΟΡEn]都是分块初等矩阵。(3)、结论:对分块矩阵进行一次分块初等行(列)变换,相当于左(右)乘相应的分块初等矩阵。下面将根据这个结论讨论6个命题并给出证明。3、[菌株][emen]命题1设A为n阶方阵,B为m阶方阵,则|ΟABΟ|=(-1)nm|A||B|.证明:根据拉普拉斯定理,对行列式|ΟEnEmΟ|按前n行展开,得|ΟEnEmΟ|=(-1)nm|En||Em|=(-1)nm.又[ΟEnEmΟ][BΟΟA]=[ΟABΟ],两边取行列式得,|ΟABΟ|=|ΟEnEmΟ||BΟΟA|=(-1)nm|B||A|.得证。根据文献中的一道习题,我们可得出下面的命题,即命题2设A、B分别是n×m和m×n矩阵,则|BEmEnA|=(-1)nm|En-AB|=(-1)nm|Em-BA|.证明:利用分块矩阵的初等变换,有|EmΟ-AEn||EmBAEn||Em-BΟEn|=|EmΟΟEn-AB|两边取行列式‚得|EmBAEn|=|EmΟΟEn-AB|=|Em||En-AB|=|En-AB|同理‚有|Em-BΟEn||EmBAEn||EmΟ-AEn|=|Em-BAΟΟEn|两边取行列式,得|EmBAEn|=|Em-BA||En|=|Em-BA|.又根据拉普拉斯定理,对行列式|ΟEmEnΟ|按前m行展开,得|ΟEmEnΟ|=(-1)nm|En||Em|=(-1)nm.由[EmBAEn][ΟEmEnΟ]=[BEmEnA],两边取行列式得,|BEmEnA|=|EmBAEn||ΟEmEnΟ|=(-1)nm|En-AB|=(-1)nm|Em-BA|得证。命题3设A、B分别是n×m和m×n矩阵,λ≠0则(1)、|λEmBAEn|=λm-n|λEn-AB|=|λEm-BA|(2)、|EmBAλEn|=λn-m|λEm-BA|=|λEn-AB|(3)、|BλEmEnA|=(-1)nmλm-n|λEn-AB|=(-1)nm|λEm-BA|(4)、|BEmλEnA|=(-1)nmλn-m|λEm-BA|=(-1)nm|λEn-AB|.其中结论(1)为文献的一道习题。证明:(1)因为[EmΟ-λ-1AEn][λEmBAEn][Em-λ-1BΟEn]=[λEmΟΟEn-λ-1AB]两边取行列式,得|λEmBAEn]|=|λEm||En-λ-1AB|=λm|λ-1(λEn-AB)|=λm|λ-n(λEn-AB)|=λmλ-n|λEn-AB|=λm-n|λEn-AB|又有[Em-BΟEn][λEmBAEn][EmΟ-AEn]=[λEm-BAΟΟEn]两边取行列式‚得|λEmBAEn|=|λEm-BA||En|=||λEm-BA|.得证。(2)因为[Em-λ-1BΟEn][EmBAλEn][EmΟ-λ-1AEn]]=[Em-λ-1BAΟΟλEn]两边取行列式得,|EmBAλEn|=|Em-λ-1BA||λEn|=|λ-1(λEm-BA)||λEn|=λn-m|λEm-BA|又[EmΟ-AEn][EmBAλEn][EmBΟEn]=[EmΟΟλEn-AB]得证。(3)、由[λEmBAEn][ΟEmEnΟ]=[BλEmEnA],两边取行列式并利用结论(1)得,|BλEmEnA|=|λEmBAEn||ΟEmEnΟ|=(-1)nm|λEmBAEn|=(-1)nmλm-n|λEn-AB|=(-1)nmλn-m|λEm-BA|.得证。同理可证结论(4)。根据命题3,我们还可以得到以下的命题,即命题4设A、B分别是n×m和m×n矩阵,且λ1≠0,λ2≠0,则(1)、|λ1EmBAλ2En|=λm-n1|λ1λ2En-AB|=λn-m2|λ1λ2Em-BA|(2)、|Bλ1Emλ2EnA|=(-1)nmλm-n1|λ1λ2En-AB|=(-1)nmλn-m2|λ1λ2Em-BA|.证明:(1)、因为有[EmΟ-λ-11AEn][λ1EmBAλ2En][Em-λ-11BΟEn]=[λ1EmΟΟλ2En-λ-11AB]两边取行列式,得|λ1EmBAλEn|=|λ1Em||λ2En-λ-11AB|=λm1|λ-11(λ1λ2En-AB)|=λm-n1|λ1λ2En-AB|.又[Em-λ2BΟEn][λ1EmBAλ2En][EmΟ-λ-12AEn]=[λ1Em-λ-12BAΟΟλ2En]两边取行列式,得|λ1EmBAλ2En|=|λ1Em-λ-12BA||λ2En|=|λ-12(λ1λ2Em-BA)||λ2En|=λn-m2|λ1λ2Em-BA|得证。(2)、由[λ1EmBAλ2En][ΟEmEnΟ]=[Bλ1Emλ2EnA],两边取行列式得,|Bλ1Emλ2EnA|=|λ1EmBAλ2En||ΟEmEnΟ|=(-1)nm|λ1EmBAλ2En|=(-1)nmλm-n1|λ1λ2En-AB|=(-1)nmλn-m2|λ1λ2Em-BA|.文献中有一道这样的习题:设A、B、C、D都是n阶方阵,若|A|≠0,且AC=CA,则|ABCD|=|A||D-CA-1B|=|AD-CB|为此,我们有下面的命题,即命题5设A、B、C、D都是n阶方阵,(1)、若|D|≠0,且DB=BD,则|ABCD|=|D||A-BD-1C|=|DA-BC|(2)、若|C|≠0,且CD=DC,则|ABCD|=(-1)n×n|C||B-AC-1D|=|AD-BC|.(3)、若|B|≠0,且AB=BA,则|ABCD|=(-1)n×n|B||C-DB-1A|=|DA-CB|.证明:(1)因为|En-BD-1ΟEn||ABCD|=|A-BD-1CΟCD|,两边取行列式得,|ABCD|=|D||A-BD-1C|=|DA-DBD-1C|=|DA-BDD-1C|=|DA-BC|。得证(2)因为|En-AC-1ΟEn||ABCD|=|ΟB-AC-1DCD|‚两边取行列式得‚|ABCD|=(-1)n×n|C||B-AC-1D|=(-1)n×n|BC-AC-1DC|=(-1)n×n|BC-AD|=|AD-BC|得证。(3)因为[ABCD][EnΟ-B-1AEn]=[ΟBC-DB-1AD]‚两边取行列式得‚|ABCD|=(-1)n×n|B||C-DB-1A|=(-1)n×n|CB-DB-1AB|=(-1)n×n|CB-DA|=|DA-CB|证毕。我们还可以得出下面的命题,即命题6设A、B、C、D都是n阶方阵,(1)、若|C|≠0,且AC=CA,则|ABCD|=(-1)n×n|C||B-AC-1D|=|AD-CB|