高等代数行列式因式分解的几种方法

高等代数行列式因式分解的几种方法

由于等式分解是中医学的常识，也是中医学的重点和难点。等式分解方法包括配置方法、公式法、配置方法等。在高等代数中,行列式是一种较好的工具。我们可以巧妙地运用行列式的性质、拉普拉斯定理、范德蒙行列式、循环行列式进行因式分解。1拉普拉斯定理性质1把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k后,加到另一行(列)的对应元素上,所得的行列式与原行列式相等。性质2把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k后,等于用数k乘以这个行列式。由这个性质2,我们不难可以得到:性质3行列式的某一行(列)的所有元素的公因式可以提到行列式的外面。拉普拉斯定理:在n(n>1)阶行列式D中,任意取定k(1≤k<n)行(列),由这个k阶子式与它的对应的代数余子式乘积之和等于行列式D。范德蒙行列式:Dn=|11⋯1a1a2⋯ana21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an-11an-12⋯an-1n|=Π1≤i＜j≤n(aj-ai)Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋯an−111a2a22⋯an−12⋯⋯⋯⋯⋯1ana2n⋯an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=Π1≤i＜j≤n(aj−ai)2nm-q-q/合成词是一种新的方式高等代数中,规定二阶行列式|a11a12a21a22|=a11a12-a21a12。由此启发,我们可以将一个多项式F看成2个多项式的差,而每个多项式又可表成2个多项式的乘积,即F=MN-PQ(M、N、P、Q均为多项式),于是F=|ΜΡQΝ|。如果M=Q或P=N时,那么F=M(N-P)或F=N(M-Q),这是一种很特殊的情况。更一般地,当M、N、P、Q互不相等时,我们可以由性质1得:F=|ΜΡ±ΚΜQΝ±ΚQ|或F=|ΜΡQ±ΚΜΝ±ΚΡ|或F=|Μ±ΚΡΡQ±ΚΝΝ|或F=|ΜΡ±ΚΜQΝ±ΚQ|(这里K为多项式)。这时,只要某一行(列)的所有元素有公因式,F就可以分解因式。例1对9x3-24x2-48x进行因式分解解:9x3-24x2-48x=3x(3x2-8x)-(3x)×16=|3x163x3x2-8x|=3x(3x2-8x-16)=3x[x(3x-8)-4×4]=3x|x443x-8|(第二行乘以-1加到第一行)=3x|x-4-3(x-4)43x-8|=3x(3x+4)(x-4)例2将x5+x+1进行因式分解解:x5+x+1=x2x3-(-1)(x+1)=|x2x+1-1x3|(第一列乘以1加到第二列)=|x2x2+x+1-1x3-1|=|x2x2+x+1-1(x-1)(x2+x+1)|=(x2+x+1)(x3-x2+1)3使用性质表成式生成f运用性质1,三阶循环行列式D=|ΜΝΡΡΜΝΝΡΜ|=|Μ+Ν+ΡΜ+Ν+ΡΜ+Ν+ΡΡΜΝΝΡΜ|=(Μ+Ν+Ρ)|111ΡΜΝΝΡΜ|=(Μ+Ν+Ρ)|100ΡΜ-ΡΝ-ΡΝΡ-ΝΜ-Ν|=(Μ+Ν+Ρ)[(Μ-Ρ)(Μ-Ν)-(Ν-Ρ)(Ρ-Ν)]将其展开得:D=M3+N3+P3-3MNP。于是当多项式F具有右端的形式时,F就可表成循环行列式,运用性质进行分解因式。例3将x3+y3+1-3xy进行分解因式解:x3+y3+1-3xy=|xy11xyy1x|=(x+y+1)|1111xyy1x|=(x+y+1)|1110x-1y-101-yx-y|=(x+y+1)(x2+y2-xy-x-y+1)4阶行列式的分解因式由拉普拉斯定理,任意三阶行列式按第1行展开得:D=|Μ1Μ2Μ3Ν1Ν2Ν3Ρ1Ρ2Ρ3|=Μ1(Ν2Ρ3-Ν3Ρ2)+Μ2(Ν3Ρ1-Ν1Ρ3)+Μ3(Ν1Ρ2-Ν2Ρ1)反之,一个多项式F具有右端的形式,那么F可以表成一个三阶行列式,再利用性质进行分解因式。例4将下式进行因式分解xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+xz(z2-x2)解:原式=xy(x2×1-y2×1)+yz(y2×1-z2×1)+xz(z2×1-x2×1)=|xyyzxzz2x2y2111|=|xyy(z-x)x(z-y)z2x2-z2y2-z2100|=1×(-1)4|y(z-x)x(z-y)(x+z)(x-z)(y+z)(y-z)|=(x-z)(y-z)|-y-xx+zy+z|(第二列乘以-1加到第一列)=(x-z)(y-z)|x-y-xx-yy+z|=(x-z)(y-z)(x-y)|1-x1y+z|=(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z)5范德蒙行列式法在上述方法4中,若M1=M2=M3=1,P1=N21,P2=N22,P3=N23,多项式变为D=|111Ν1Ν2Ν3Ν21Ν22Ν23|,运用范德蒙行列式可以直接分