线性方程组的高斯消元解法

线性方程组的高斯消元解法

在科学和工程的实际应用中，传统的线性解算方程组问题通常归因于许多科学和技术问题，但许多技术和技术问题最终归因于线性解算方程组的解算方程组的解算方法。这是中国古代数学著作《九章算术》的综合讨论。该方法的本质与现代高思消元法密切相关。高思消元法是解决线性方程组问题的基本方法。当消源同时用于消源时，可以计算矩阵和系数矩阵的排列间隔。矩阵中是否有解（零解）和解，这与矩阵和广义矩阵的排列密切相关。一、线性方程组1、中央方程原则我们可以利用矩阵初等变化的方法求解线性方程组，利用这种方法，只需通过对线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换，便可直接求得其基础解系或一般解.矩阵的初等行变换，对应于方程组求解的消元法。2、线性方程组的估计关于未知量是一次的方程组，其一般形式为当常数项b1,b2,…bn都等于零时,则方程组(1)称为齐次线性方程组。方程组(1)的系数所构成的m行n列矩阵称为方程组(1)的系数矩阵.在A中添加由常数项组成的列而得到一个m行n+1列矩阵称为方程组(1)的增广矩阵.如果在方程组(1)中,以一组复数或域F的元素c1,c2…,cn代替未知量x1,x2,…，xn，每一个方程的两端相等，那么c1,c2,…,cn称为方程组(1)的一个解。关于线性方程组，有以下主要结果：(1)线性方程组(1)有解的充分必要条件是,系数矩阵A与增广矩阵有相同的秩。(2)在A与增广矩阵有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设于是方程组(1)与仅含有前r个方程的方程组同解.可将前r个方程改写为方程组(2)的一般解公式为：式中Dj(j=1,2,…,r)是把D的第j列换成方程组(2)的右端的列所得到的一个r阶行列式，即当r<n时，则任意给自由未知量的一组值，由(3)可求出x1,x2,…,xr的值即方程组(1)的一个解,此时方程组(1)的解不只一个.当r=n时,则方程组(2)不含自由未知量，由(3)给出方程组(1)的惟一解.当m=n=r时,公式(3)称为克莱姆规则.(2）基本理论3、高思消源法的理论基础4、高斯消源法的基本步骤第一步：将线性方程组的增广矩阵A=[A,b](齐次线性方程组的系数矩阵)进行初等行变换化为阶梯形；二、线性方程组解决问题的基本方法1、等行变换化阶梯形矩阵(1）求线性齐次方程组的通解(A*X=0)由求解线性方程组的高斯消元法可得，求AX=0的基础解系的基本步骤：第一步：将n元齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;第二步：求出r(A).若r(A)=n,则AX=0只有零解，若r(A)=r<nr，则进行下一步；第三步：写出阶梯形矩阵B所对应的与原方程组同解的阶梯形方程组形如第四步：将xr+1,xr+2,L,xn视为自由未知量，移至方程右端并逐步回代可得方程组的一般解为其中xr+1,…xn为任意实数.第五步：将xr+1,xr+2,…,xn取下列n-r组值：可得n-r个解向量则ξ1,ξ2,…,ξn-r就是AX=0的一个基础解系.2、线性方程组的结构理论非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解.因此，步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)，若有解则进行第二步第二步：求AX=b的一个特解第三步：求AX=0的通解第四步：AX=b的通解为：AX=0的通解加上AX=b的一个特解.求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知元也要对换.其次方程组是否有解(有非零解)，有多少解，这与系数矩阵和