浙教版八年级数学上册第二章-特殊三角形-单元检测(提高篇)

浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形单元检测（提高篇一、单选题（共10题；共20分）1.下列命题中，正确的是（）A.

过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条

B.

对角线相等的四边形是矩形

C.

两条边及一个角对应相等的两个三角形全等

D.

位似图形一定是相似图形2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（

）A.

B.

C.

D.

3.下列命题中真命题是（）A.

如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等

B.

如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等

C.

如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等

D.

如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等4.如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC=15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=5的点P的个数是(

)A.

0

B.

4

C.

8

D.

165.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（

）A.

60°

B.

70°

C.

80°

D.

90°6.如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为，则的值可能是（

）A.

10

B.

20

C.

30

D.

407.如图，在Rt△ABC中，BC2，∠BAC30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为.其中正确的是（

）A.

①②

B.

①②③

C.

①③④

D.

①②④8.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（

）A.

B.

C.

D.

9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为

A.

B.

4

C.

D.

10.如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）

A.

cm

B.

cm

C.

cm

D.

９cm二、填空题（共6题；共12分）11.如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为________．12.在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=________°．

13题13.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=2S△ADF．其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）14.如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是

________（填序号）15题15.有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为________．16.如图，在四边形中，，若，则________.三、综合题（共7题；共88分）17.与有公共顶点（顶点均按逆时针排列），，，，，点是的中点，连接并延长交直线于点，连接.（1）如图，当时，求证：①；②是等腰直角三角形.（2）当时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出是何种特殊三角形.18.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．原题：如图①，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由（1）思路梳理因为，所以把绕点逆时针旋转90°至，可使与

重合．因为，所以，点共线．根据________，易证________，得.请证明．（2）类比引申如图②，四边形中，，，点分别在边上，.若都不是直角，则当与满足等量关系时，仍然成立，请证明．（3）联想拓展如图③，在中，，点均在边上，且.猜想应满足的等量关系，并写出证明过程．19.已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．20.如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）21.已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．（1）点A的坐标：________，点E的坐标：________；（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；（3）P是线段AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设L是△PBD的周长，当L取最小值时。求：①点P的坐标②判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．22.如图（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是等腰Rt△ABC内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察，分析，思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连结P′P，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结P′P，求出∠APB的度数。请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程。（2）【类比探究】如图，若点M是等腰Rt△ABC外一点，MA=3，MB=1，MC=，请直接写出∠AMB的度数。23.如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．（1）a=________；b=________；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．答案一、单选题1.D2.C3.D4.B5.B6.C7.D8.C9.A10.C二、填空题11.12.3213.①②③14.②③15.20或2016.三、综合题17.（1）证明：①∵，∴.又，∴，∴.又，∴；②当时，，∵，∴.∵，∴，∴；又，∴，∴，∴即，∴是等腰直角三角形.

（2）解：所画图形如图①或图②，此时是等边三角形.图①图②与（1）同理，可证，∴AF=AD，，∴△AFD是等边三角形.18.（1）SAS；△AFE

（2）解：∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2，理由如下：根据ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACD′，如图，连接ED′．∴ΔABD≅ΔACD′．∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′AC．在RtΔABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′CE=90°，∴D’C2+CE2=D′E2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′AE=45°．∴ΔAD′E≅ΔADE，∴ED=ED′，∴DE2=BD2+EC2．19.（1）解：∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：解得x2+3x+m﹣3=0，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；

（3）解：∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点

（4）解：如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0），②当AB=BP=4时，P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．20.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP；∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；∴△ABP∽△QEA（AA）

（2）解：∵△ABP≌△QEA；∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2即32+t2=（2t）2解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去）答：当t取时△ABP与△QEA全等

（3）解：由（1）知△ABP∽△QEA；∴=（）2∴=（）2整理得：y=．21.（1）（1，）；（0，）

（2）解：∵抛物线过点A、E，∴

，解得：

，

，∴抛物线的解析式为

（3）解：作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值，如图2．①∵D、D′关于直线AC对称，∴DD′⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠ACD=60°，∴∠D′DC=30°，∴在Rt△DFC中，DF==，∴DD'=，作D'G⊥轴于点G，在Rt△D’DG中，DG=D'Dcos30°=3，D'G=D'Dsin30°=，∴点D'的坐标为（4，），∴由待定系数法可求得：直线BD'的解析式为：，直线AC的解析式为：，由

解得：

，∴点P的坐标．②∵在中，当时，，∴点P在抛物线上.22.（1）解：思路一：显然△BP′A≌△BPC，∴PB=PB=2，P′A=PC=3，∴△BP′P是等腰直角三角形∴PP′=2又∵P′A=3，PA=1，∠APP′=90°，∴∠APB=135°思路二显然△BPA≌△BP′C，∴PB=P′B=2，PA=P′C=1，△BP′P是等腰直角三角形∴PP′=2又∵PC=3，P′C=1∴∠CP′P=90∴∠APB=∠CP′B=135°

（2）解：如图，将△MBC绕点B逆时针旋转90°得到△MBA，∴△MBC≌△M′BA，∴BM′=BM=1，AM′=CM=√11△B