第26讲 圆锥曲线中定值问题（原卷版）

第26讲圆锥曲线中定值问题【题型目录】题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题题型二：圆锥曲线中三角形四边形面积定值问题题型三：圆锥曲线中有关斜率定值问题题型四：圆锥曲线中有关向量定值问题题型五：圆锥曲线中角为定值问题【典型例题】题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．【例2】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【例3】（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知点B是圆C:上的任意一点，点F（，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点Р的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明:△FMN的周长为定值.【例4】（2022·北京·高三开学考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．【例5】（2022·湖南师大附中高三阶段练习）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.【例6】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【例7】（2022·江苏·高二专题练习）已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.(1)求的方程；(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.【题型专练】1．（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．2．（2022·湖北·高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.4．（2023·全国·高三专题练习）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①为定值；②．6.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的C的方程：．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．7．（2022·广东·中山纪念中学高二阶段练习）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一个动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形．(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，且．试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．8．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点．(1)求C的方程；(2)点P是圆上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明：为定值．题型二：圆锥曲线中三角形四边形面积定值问题【例1】（河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期9月联考理科数学试题）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．【例2】（2022·湖北·高三开学考试）已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为，证明:的面积为定值.【例3】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.【例4】（2022·河南新乡·二模（理））已知椭圆的焦距为2c，左､右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点，且O为△ABC的重心.证明：△ABC的面积为定值.【例5】（2022·山西太原·一模（理））已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于、两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接，并延长交抛物线于、两点，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.【例6】（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.(1)求，；(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．2．（2022·四川·树德中学模拟预测（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．(1)求椭圆与椭圆的标准方程：(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3．（2022·全国·高三专题练习）设点是椭圆上一动点，、分别是椭圆的左、右焦点，射线、分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)证明：为定值．4．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)若点，，在椭圆C上，原点O为的重心，证明：的面积为定值．5．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，的内切圆的半径为，且的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆的右顶点B作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点D和点E，若直线DE与x轴的交点为T，O为坐标原点，的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．6．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知椭圆C：的离心率为，点与椭圆C的左、右顶点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线MN与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．7．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆，椭圆与有相同的离心率，且短轴的一个端点坐标为，O是坐标原点.(1)求的方程；(2)若直线l与有且仅有一个公共点，与交于A，B两点，试问的面积是否为定值？若是，求的面积；若不是，请说明理由.8．（2022·河南·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为A，B，直线与直线的交点为D，且△ABD的面积为.(1)求C的方程；(2)设过C的右焦点F的直线，的斜率分别为，，且，直线交C于M，N两点，交C于G，H两点，线段MN，GH的中点分别为R，S，直线RS与C交于P，Q两点，记△PQA与△PQB的面积分别为，，证明：为定值.9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.10．（2022·四川宜宾·二模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，，为的上顶点，且.(1)求的方程；(2)过坐标原点作两直线，分别交于，和，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.题型三：圆锥曲线中有关斜率定值问题【例1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【例2】（2022·浙江·高三开学考试）已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.(1)求的方程；(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.【例3】（2023·全国·高三专题练习）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.【例4】（2022·上海市建平中学高二阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，且以短轴端点和焦点为顶点的四边形是边长为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)若是椭圆上的动点，求的取值范围；(3)已知不过原点且斜率存在的直线与椭圆交异于椭圆顶点的两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为点，直线和直线的斜率之积为1，直线与轴交于点．若直线的斜率分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【例5】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程.(2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【题型专练】1．（2022·湖南郴州·高二期末）已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．2．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.(1)求的离心率；(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.3．（2023·全国·高三专题练习）已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线PM，PN的斜率之积为．(1)求C的轨迹方程；(2)若一动圆的圆心Q在曲线C上运动，半径为．过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆于E、F两点，当直线OE，OF的斜率存在时，是否为定值？请证明你的结论．4．（2022·河南焦作·高三开学考试（理））已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.5.（2022·江苏南通·高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.6．（2022·江苏·高三开学考试）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.(1)当时，求；(2)在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.7．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.题型四：圆锥曲线中有关向量定值问题【例1】（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．(1)求的最大值；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【例2】（2022·江苏省响水中学高三开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．【例4】（2022江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知椭圆：的离心率为，点是上一点.(1)求椭圆的方程：(2)过右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值?若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，说明理由.【例5】（2022·江西·模拟预测（文））椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B，P三点在椭圆C上，O为原点，设直线的斜率分别是，且，若，证明：.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．3．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.(1)求椭圆与圆的方程；(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．4.（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知椭圆：的离心率为，以椭圆上一点和短轴两个端点为顶点的三角形面积的最大值为2.(1)求的方程；(2)直线过椭圆长轴上点且与椭圆相交于不同两点，，点，当为何值时为定值，并求其定值.5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线(1)设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；(2)设椭