第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系（原卷版）

第23讲直线和圆锥曲线的位置关系【知识点梳理】1．直线和曲线联立（1）椭圆与直线相交于两点，设，，（正设）椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，（反设）注意：=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊的，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．2．根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立,为了方便叙述，将上式简记为,，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．【题型目录】题型一：直线与椭圆位置关系题型二：直线与双曲线位置关系题型三：直线与抛物线位置关系【典例例题】题型一：直线与椭圆位置关系【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【例2】（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0【例3】（2022全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定【例4】（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．【例5】（2021·云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________．【例6】（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______．【例7】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．(1)求动点的轨迹方程；(2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由．【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．【题型专练】1．（2022全国·高二课时练习）直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__．2.（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.3.（2022·江苏·高二）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（

）A．0 B．1C．2 D．需根据a，b的取值来确定4.（2022辽宁·高二阶段练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定5．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆的蒙日圆的半径为（

）

A．3 B．4 C．5 D．66．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（

）A．若与至少有一个公共点，则B．若与有且仅有两个公共点，则C．若，则上到的距离为5的点只有1个D．若，则上到的距离为1的点只有3个7．（2022辽宁·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点和曲线，则对于直线下列说法正确的是（

）A．若，，，则直线与曲线没有交点B．若，，，则直线与曲线有二个交点C．若，，，则直线与曲线有一个交点D．直线与曲线的位置关系和在哪里无关8．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点.(1)求椭圆C及圆M的标准方程；(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.10．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.①求直线的方程（用，表示）；②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.题型二：直线与双曲线的位置关系【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【例3】（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（

）A．2 B． C． D．1【例4】（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测多选题）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（

）A． B． C． D．【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为______．【例6】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习多选题）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（

）A．或B．该双曲线的离心率为C．满足的直线有且仅有一条D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是2．（2022·全国·高二专题练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(

)A． B． C． D．5．（2022·全国·高二单元测试）若直线l经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高二期中多选题）已知两点和，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.8．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．题型三：直线与抛物线【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【例2】（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（

）A． B． C．或 D．或【例3】（2022·全国·高二单元测试多选题）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”【例4】（2022·四川资阳·高二期末（文））过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.【题型专练】1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（

）A．4 B．2 C．0或4 D．82.（2022·四川自贡·高二期末（文））过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条3．（2022·云南·昆明一中高三开学考试多选题）已知抛物