第05讲三角函数的图像与性质（原卷版）

第05讲三角函数的图像与性质1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ一．三角函数的定义域例1．（1）函数的定义域是（

）A． B． C． D．（2）函数的定义域为（）A． B．且C． D．或（3）函数的定义域为()A． B．C． D．（4）函数的定义域为()A． B．C． D．（5）函数的定义域是_____________________.【复习指导】：一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.（6）求函数的定义域为_______.（7）求下列函数的定义域：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.【复习指导】：用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集．二．三角函数的值域例2．（1）函数在区间上的值域为（

）A． B． C． D．（2）函数的最大值是（

）A． B．0 C．2 D．3（3）若，则函数的值域是___________.（4）函数的值域为_____________．（5）已知函数，，则的值域为______.（6）求下列函数的值域：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【复习指导】：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．三．三角函数的周期性例3．（1）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．（2）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．（3）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．（4）函数的最小正周期为______．（5）设，则__________.【复习指导】：求三角函数周期的方法(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|)；对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，．形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的函数的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．四．三角函数的奇偶性例4．（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）A． B． C． D．（2）下列函数中为周期是的偶函数是（

）A． B．C． D．（3）（多选）下列函数中周期为且为奇函数的是（

）A． B． C． D．【复习指导】：三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．（4）函数是（

）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数（5）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数（6）已知函数，若，则__________.【复习指导】：(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．五．三角函数的对称性例5．（1）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（

）A． B．C． D．（2）函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．（3）若函数的图像关于直线对称，则___________.（4）已知函数的一个对称中心是，则的值为______.（5）定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______.（6）函数图像的对称中心为___________（7）函数图像的一个对称中心为，其中，则点对应的坐标为______________.（8）已知函数，对，成立，则_______.【复习指导】：(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z))，求x即可．(2)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可．六．三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例6．（1）下列区间是函数的单调递减区间的是（

）A． B． C． D．（2）函数的的单调递减区间是（

）A． B．C． D．（3）函数在上的单调递减区间是（

）A． B． C． D．（4）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增（5）函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，【复习指导】：求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．（6）下列关于函数的说法正确的是（

）A．最小正周期为B．图像关于点成中心对称C．在区间上单调递增D．图像关于直线成轴对称【复习指导】：解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．（7）已知函数，则它的单调递增区间是_________【复习指导】：(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．命题点2根据单调性求参数例7．（1）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．（2）（多选）已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，则（

）A．是偶函数．B．C．是奇数D．的最大值为3（3）函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________（4）已知函数在上单调递增，则的最大值是____.（5）函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.【复习指导】：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.1．函数的定义域为（）A．， B．，C．， D．，2．函数f（x）=sinxcos(x+)的值域为（）A．[2,2] B．[,] C．[1,1] D．[,]3．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．的最大值为 D．的图象关于直线对称4．函数的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．函数在上的值域为（

）A．B．C．D．6．若，且，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数是偶函数，则在上的值域是（

）A． B． C． D．8．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．若关于x的方程在有两个不等实根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．10．下列函数中最小正周期为的是（

）①；②；③；④A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④11．已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．12．已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．713．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A． B． C． D．14．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．15．对于函数，有以下四种说法：①函数的最小值是②图象的对称轴是直线③图象的对称中心为④函数在区间上单调递增．其中正确的说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．416．关于函数的叙述中，正确的有（

）①的最小正周期为；②在区间内单调递增；③是偶函数；④的图象关于点对称.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④17．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（

）A． B．C． D．18．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（

）A． B． C．1 D．19．若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（

）A．6 B． C．9 D．20．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（）A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减21．已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的图象（

）对称A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称22．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于y轴对称C．的图象不关于对称D．的图象关于对称23．下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．24．函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．25．（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（

）A． B．C． D．26．（多选）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．27．（多选）已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递减C．是的一个零点 D．28．（多选）下列关于函数的说法正确的是（

）A．在区间上单调递增 B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线对称29．（多选）下列关于函数的说法正确的是（

）A．在区间上单调递增 B．