线性代数的基本理论及其应用

线性代数的基本理论及其应用

1a+b的mn型矩阵及b对于标准格式的线性方程组，当系数的列方程的值小于零时，作者在一篇题为《列方程和解线性方程组》的文章中给出了解方程。以下研究一般形式的线性方程组的求解问题(本文涉及的数均为实数)。定义1由m×n个排定位置的数构成的如下矩形阵表A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn)A=⎛⎝⎜⎜⎜a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn⎞⎠⎟⎟⎟(1)称为m×n型矩阵,其中aij为A的第i行、第j列的元素,矩阵A也通常记成A=(aij),A=(aij)m×n或A=Am×n。特别当m=n时,称A为n阶矩阵。定义2设A、B是两个同型矩阵,(1)若A、B对应位置上的元素都相等,则称A、B相等,记为A=B。(2)称A+B=(aij+bij)为A与B的和矩阵(矩阵加法);称A-B=(aij-bij)为A与B的差矩阵(矩阵减法)。(3)称λA=(λaij)为数乘矩阵。定义3已知矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,以cij=s∑k=1∑k=1saikbkj,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n(2)为元素排成的m×n型矩阵C=(cij)m×n称为A与B的乘积矩阵,记为C=AB。把A、B按适当行列分块(子矩阵)后,把块看成元素做乘积矩阵后仍得A与B的乘积矩阵C。显然,矩阵的加法、乘法满足结合律,但乘法不满足交换律。对于一般形式的线性方程组令A称为(3)式的系数矩阵,X称为(3)式的未知数矩阵(列),b称为(3)式的常数项矩阵(列),则可得(3)式的矩阵表示AX=b.(5)2k阶行列式的组成定义4已知矩阵A,用任意不为零的实数λ乘A的第i行得矩阵A1;互换A的第i、j两行得矩阵A2;把A的第i行的元素μ倍加于第j行得矩阵A3。A1、A2、A3称为A的3种行初等变换矩阵。定义5已知矩阵A=(aij)m×n,在A中任取定k行k列,位于选定行、列相交处的k×k个元素构成一个k阶行列式,叫做A的一个k阶子式。A中不等于零的子式的最大阶数r叫做A的秩数,记为rnk(A)=r。特别当A是n阶矩阵时,A本身构成一个n阶行列式,记为|A|;其子式aij余下的元素构成也一个(n-1)×(n-1)阶行列式M,称(-1)i+jM为aij的代数余子式。由矩阵理论可知:矩阵A的行初等变换矩阵的秩数与A的秩数相等。定义6若n阶矩阵E的主对角线(左上角至右下角)上的元素均为1,其他元素均为0,则称E为单位矩阵。已知n阶矩阵A,若有n阶矩阵B使得AB=BA=E,则称A可逆,B称为A的逆矩阵。由矩阵乘法的结合律可知:若A有逆矩阵,其逆矩阵必唯一,记为A-1。定理1n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是|A|≠0,且A-1=1|A|A*A−1=1|A|A∗,其中而Aij是A中元素aij的代数余子式。证明依行列式的行列展开定理与矩阵的乘法直接验证即可。3线性方程组解的存在定理定理2(齐次线性方程组解的结构定理)已知齐次线性方程组AX=0,其中A=Am×n。(1)若rnk(A)=n,则AX=0只有零解,(2)若rnk(A)=r<n,则AX=0有n-r个线性无关的非零解,其他任何解都是这n-r解的线性组合。证明若r=m,不妨设A的前m列构成的m阶子式的值不等于0,把A和X如下分块A1为m阶矩阵且|A1|≠0,A2为m×(n-m)型矩阵;X1为前m个未知数构成的矩阵(列),X2为后n-m个未知数构成的矩阵(列)。显然,矩阵的n-m个线性无关列的每一列均为AX=0的解,其中E为n-m阶单位矩阵。若X也是AX=0的解,即AX=(A1A2)(X1X2)=A1X1+A2X2=0从而,X1=-A-11A2X2。所以X=(X1X2)=(-A-11A2X2X2)=(-A-11A2E)X2=X0X2.即X是(8)式中X0的线性组合,其中X2为任意n-m个实数构成的矩阵(列),定理的结论成立。对于一般的情形,不妨设A的前r行、r列构成的r阶子式的值不等于0。把A和X如下分块A=(A1A2A3A4),X=(X1X2)A1为r阶矩阵且|A1|≠0,A2为r×(n-r)型矩阵;X1为前r个未知数构成的矩阵(列),X2为后n-r个未知数构成的矩阵(列)。对A实施行初等变换得A*显然,AX=0与A*X=0同解,而同解,由前面的证明可知,定理的结论成立,定理得证。定理3(线性方程组解的存在定理)AX=b有解的充要条件是rnk(Ab)=rnk(A)。(Ab)称为A的增广矩阵。证明不妨设A的前r行、r列构成的r阶子式的值不等于0,把A、X、b如下分块A1为r阶矩阵且|A1|≠0,A2为r×(n-r)型矩阵;X1为前r个未知数构成的矩阵(列),X2为后n-r个未知数构成的矩阵(列);b1为前r个常数项构成的矩阵(列),b2为后m-r个常数项构成的矩阵(列)。对(Ab)实施行初等变换从(11)式的最后一个矩阵可知:AX=b有解等价于同解方程组A1X1+A2X2=b1有解且e=0,等价于rnk(Ab)=rnk(A)。定理得证。定理4若Xb是AX=b的解,X0是AX=0的解,则Xb+X0仍是AX=b的解;若Yb、Xb是AX=b的解,则X0=Yb-Xb是AX=0的解。由此可得AX=b的通解。证明由于A(Xb+X0)=AXb+AX0=b+0=bA(Yb-Xb)=AYb-AXb=b-b=0.所以,定理成立。例解线性方程组解对增广矩阵(Ab)实施行初等变换(1-1-22-1211-21123-42)→(1-1-22-1035-6300000)由变换后的矩阵可知:rnk(Ab)=rnk(A)=2,故(12)式有4-2=2个线性无关的解。且(12)式与变换后的矩阵构成的如下方程组同解在(13)式中令x3=0,x4=0得1个解,它也是在(13)式对应的齐次方程组中{x1-x2-2x3+2x4=03x2+5x3-6x4=0.分别令x3=1,x4=0和x3=0,x4=1得2个线性无关的解它们也