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分块矩阵在矩阵证明题中的应用

在高等代，矩阵分布模式是矩阵检验的良好方法。本文结合矩阵的初等变换、矩阵秩的有关性质,对相关矩阵进行分块或构造相关的分块矩阵,讨论分块矩阵在证明题型中的应用。先以常用的2×2的分块矩阵为例,给出几个与分块矩阵相关的定义与性质。定义1:对m+n阶单位矩阵作2×2分块,即,然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。其中P、Q分别是m阶和n阶可逆方阵。注:在使用分块初等矩阵乘法时,要注意所作分块必须使得分块乘法的运算能进行。由定义1,给出分块初等矩阵的性质。性质1:对分块矩阵进行一次行(列)初等变换,相当于左(右)乘一个相应的分块初等矩阵。性质2:分块初等矩阵是可逆矩阵,分块初等变换不改变矩阵的秩。性质3:对一个分块矩阵左(右)乘一个分块初等矩阵,不改变原分块矩阵的秩。1块矩阵应用于验证过程中的排序矩阵证明方法:利用分块初等矩阵的性质和秩的性质。秩的2个性质:1.1在文本平等证书中应用证明证明构造,对其进行如下初等变换:注:本例中,若AB=0,则r(A)+r(B)≤n。1.2等式证明中的等式例例22A设为n阶方阵,证明:2矩阵中的分块矩阵的应用证明方法:利用矩阵秩的化简结论。3矩阵分解中的块矩阵的应用证明方法:利用矩阵秩的化简结论。例例44证明:任一方阵A都可写为A=BC,其B2=B,C可逆。4矩阵中的分块矩阵应用证明方法:利用分块矩阵的初等变换及行列式的运算。5在先单元的二元结构下的认知分块证明方法:利用分块矩阵的初等变换及分块矩阵求逆的方法及结论。在高等代数中,利用分块的方法证明矩阵问题的题目还有很多,这里只是列举了其中的一些加以讨论。并且,有的例题也有其他的证明方法,这里不再一一给出。另外,分块的方法与齐次线性方程组解的结构相结合(一般是系数矩阵的列分块),也可以解决一些问题。例如,“若AB=0,则r(A)+r(B)≤n”,就可以用齐次方程组解的结构来证明。总之,由以上例子可以看出,矩阵分块在矩阵证明题中是一种较简捷、有效的方法。由定义1可得,分块初等矩阵具有以下形式:1)分块初等对换阵:;2)分块初等倍乘阵:;3)分块初等倍加阵:。证明证明构造,对其进行如下初等变换:结论:设A是一个矩阵,,则r(A)=r存在m阶可逆矩阵P和n阶可m×n逆矩阵Q,使。特别:若A列满秩时,;若A行满秩时,。证明:存在。证明(B为列满秩)∴∃可逆阵Pm和可逆阵Qn,使证明证明设,则存在n阶可逆矩阵P,Q,使。例5(满秩分解)例5(满秩分解)证明:对任意m×n阶矩阵A,设。注:此题也可转化为证明秩的问题。结论:若n阶方阵,其中,M是可逆阵的充要条件是n×2n阶矩阵,经

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