一类行列式的值

一类行列式的值

1拉格尔中的权利义务泰勒公式是高等数学中的一个重要组成部分。在代，有许多方法可以使用代维数计算行列式，而使用微分离学方法很少用于行列式。然而，采用泰勒公式求解行列式确实有效。采用泰勒公式求解以下行列式。Dn=|xbb⋯bcxb⋯bccx⋯b⋮⋮⋮⋮⋮ccc⋯x|的一种方法.本文利用文献的方法,并根据所求行列式的特点构造相应的行列式函数,从而求出了一类行列式的值.下面先给出泰勒定理.2导数、n阶导数f(x)满足:(1)在点x0的某邻域|x-x0|<δ内有定义;(2)在此邻域内有一直到n-1阶连续导数f′(x),f″(x),…,f(n-1)(x);(3)在x0处有n阶导数f(n)(x0);那么,f(x)在x0的邻域|x-x0|<δ内有泰勒展开式可表示为f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+⋯+1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o|x-x0|n.3通过引入泰勒公式求如下行列式An=|b⋯bbxb⋯bxcb⋯xcc⋮⋮⋮⋮⋮x⋯ccc|.可以把行列式An看做x的函数(一般是x的n次多项式),记gn(x)=An,按泰勒公式在x=b处展开:gn(x)=gn(b)+g´n(b)1!(x-b)+g˝n(b)2!(x-b)2+⋯+g(n-1)n(b)(n-1)!(x-b)n-1+g(n)n(b)n!(x-b)ngn(b)=|bb⋯bbbbb⋯bbcbb⋯bcc⋮⋮⋮⋮⋮⋮bb⋯cccbc⋯ccc|=|00⋯00b00⋯0b-cc00⋯b-c0c⋮⋮⋮⋮⋮⋮0b-c⋯00cb-c0⋯00c|=(-1)n(n-1)2b(b-c)n-1.根据行列式的求导法则,有g´n(x)=|00⋯001bb⋯bxcbb⋯xcc⋮⋮⋮⋮⋮⋮bx⋯cccxc⋯ccc|+|bb⋯bbx00⋯010bb⋯xcc⋮⋮⋮⋮⋮⋮bx⋯cccxc⋯ccc|+⋯+|bb⋯bbcbb⋯bxcbb⋯xcc⋮⋮⋮⋮⋮⋮bx⋯ccc10⋯000|=(-1)n+1ngn-1(x).类似地g˝n(x)=(-1)n+1ng´n-1(x)=(-1)2n+1n(n-1)gn-2(x),g‴n(x)=(-1)n+1ng˝n-1(x)=(-1)2n+1n(n-1)g´n-2(x)=(-1)3nn(n-1)(n-2)gn-3(x),⋯g(n-1)n(x)=(-1)n2+3n-42n！x=(-1)n2+3n-42n!g1(x),g(n)n(x)=(-1)n(n+3)2n!‚则有g´n(b)=(-1)n+1ngn-1(b)=(-1)n+1n(-1)(n-1)(n-2)2b(b-c)n-2=(-1)n(n-1)2nb(b-c)n-2,g˝b=(-1)2n+1n(n-1)gn-2(b)=(-1)n+1ngn-1(b)=(-1)2n+1n(n-1)(-1)(n-2)(n-3)2b(b-c)n-3=(-1)n(n-1)2n(n-1)b(b-c)n-3,⋯g(n)n(b)=(-1)n(n-1)2[n(n-1)⋯2]b,g(n)n(b)=(-1)n(n+3)2n!=(-1)n(n-1)2n!,代入gn(x)在x=b处的泰勒展开式:gn(x)=(-1)n(n-1)2b(b-c)n-1+(-1)n(n-1)2nb(b-c)n-21!(x-b)+[n(n-1)b(b-c)n-32!(x-b)2](-1)n(n-1)2+⋯+n!(n-1)!b(b-1)n-1(-1)n(n-1)2+(-1)n(n-1)2n!n!(x-b)n=(-1)n(n-1)2[b(b-c)n-1+nb(b-c)n-21!(x-b)+n(n-1)b(b-c)n-32!(x-b)2+⋯+(x-b)n]=(-1)n(n-1)2[C0nb(b-c)n-1+C1nb(b-c)n-2(x-b)+C2nb(b-c)n-3(x-b)2+⋯+Cn-1n(x-b)n-1b+Cnn(x-b)n].当b=c时,则gn(x)=[0+0+⋯+n(n-1)!b(n-1)!(x-b)n-1+(x-b)n]⋅(-1)n(n-1)2=(-1)n(n-1)2(x-b)n-1[x+(n-1)b].当b≠c时,则gn(x)=(-1)n(n-1)2[C0nb(b-c)n+1+C1nb(b-c)n-2(x-b)b-c+⋯+Cn-1nb(b-c)(x-b)n-1Cnnb(x-b)n-Cnnc(x-b)nb-c]=(-1)n(n-1)2b[C0n(b-c)n+C1n(b-c)n-1(x-b)+⋯+Cnn(x-b)n]-c(x-b)nb-c=(-1)n(n-1)2b(x-b+b-c)n-c(x-b)nb-c=(-1)n(n-1)2b(x-c)n-c(x-b)nb-c.即An={(-1)n(n-1)2(x-b)n-1[x+(n-1)b],当b=c时(-1)n(n-1)2b(x-c)n-c(x-b)nb-c,当≠c时.4拉格朗日乘子法若某一行列式行数fn(x)的各阶导数都能化为上述gn(x)的各阶导数的递推形式,(其中fn(x)是由行列式的主(次)对角线上元素变成x生成的),均可用此种方法求得.形如D1=|xa0⋯00bxa⋯000bx⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯xa000⋯bx|D2=|xaa0⋯000bxaa⋯000bbxa⋯0000bbx⋯000⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯xaa0000⋯bxa0000⋯bbx|D1=|xa0⋯00bxa⋯000bx⋯00⋮⋮⋮⋮