n阶行列式的计算

n阶行列式的计算

列方程的计算是一个重要的问题，也是一个复杂的问题。对于低行列方程，可以使用定义、公式、性质和其他方法进行计算。然而，一般的n阶列方程计算非常困难，因此有必要研究n阶列方程的计算方法。在本文中，我们介绍了行列式的计算方法。一、特殊行列法1.00005.当行列式中含零元较多时,定义法可行.例1计算n级行列式D=|αβ0⋯000αβ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯αββ00⋯0α|.解:按定义,易见j1=1,j2=2,…,jn=n,或j1=2,j2=3,…,jn-1=n,jn=1.得D=αn+(-1)n-1βn+12.计算n级行列式dn利用行列式性质,把行列式化成三角形行列式.|α11α12⋯α1n0α22⋯α2n⋯⋯⋯⋯00⋯αnn|=|α110⋯0α12α22⋯0⋯⋯⋯⋯αn1αn2⋯αnn|=α11α22α33⋯αnn例2计算n级行列式Dn=|123⋯n1x+13⋯n12x+1⋯n⋯⋯⋯⋯⋯123⋯x+1|解:将Dn的第i(i=2,3,…,n)行减去第一行化为三角形行列式,则Dn=|123⋯n0x-10⋯000x-2⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯x-n+1|=(x-1)(x-2)⋯(x-n+1)3.anib1b2bn0aa例3计算行列式D=|a0b1b2⋯bnc1a10⋯0c20a2⋯0⋯⋯⋯⋯⋯cn00⋯an|(ai≠0,i=1,2,⋯,n)解:将D的第i+1列乘以(-Ciai)都加到第1列(i=1,2,…,n),得D=|a0-n∑i=1biciaib1b2⋯bn0a10⋯000a2⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯an|=(a0-n∑i=1biciai)n∏i=1ai4.xn3xnnxn3xnn3xnn3xnn3xn3xnn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xnn3xn3xnn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xnn3xn3xn3xnn3xn3xn3xnn3xn3xn3xn3xnn3xn3xn3xn3xn3xn3xD=|111⋯1a1a2a3⋯ana11a22a23⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯an-11an-12an-13⋯an-1n|=∏1≤j<i≤n(ai-aj)例4计算n阶行列式D=|111⋯1x21x22x23⋯x2nx31x32x33⋯x3n⋯⋯⋯⋯⋯xn1xn2xn3⋯xnn|解:利用D构造一个n+1阶范德蒙行列式g(x)=|11⋯11x1x2⋯xnxx21x22⋯x2nx2⋯⋯⋯⋯⋯xn1xn2⋯xnnxn|多项式g(x)中x的系数为(-1)n+3D,而g(x)又是一个范德蒙行列式,展开后x的系数为(-1)n-1[x2x3⋯xn+⋯+x1x2⋯xn-1]∏1≤j<i≤n(xi-xj),两者应相等,故D=[x2x3⋯xn+⋯+x1x2⋯xn-1]∏1≤j≤i≤n(xi-xj)当xx2…xn≠0时,还可写成D=x12⋯xn(1x1+⋯+1xn)∏1≤j≤i≤n(ai-aj)二、建立三角形行列式若行列式中某列(行)加上其余各列(行),使该列(行)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式计算的方法称为连加法.例5计算n阶行列式D=|xa⋯aax⋯a⋯⋯⋯⋯aa⋯x|解:它的特点是各列元素之和为(n-1)a+x,因此把各行都加到第一行,然后第一行再提出(n-1)a+x,得D=[(n-1)a+x]|11⋯1ax⋯a⋯⋯⋯⋯aa⋯x|将第一行乘-a分别加到其余各行,化为三角形行列式,则D=[(n-1)a+x]|11⋯10x-a⋯0⋯⋯⋯⋯00⋯x-a|=[(n-1)a+x](x-a)n-1三、x4a3为了计算行列式,有时需要将它的阶数放大,使升阶后的行列式易于计算,从而求出原行列式.这种方法叫加边法,也叫升阶法.例6计算n阶行列式D=|a1xx⋯xxa2x⋯xxxa3⋯x⋯⋯⋯⋯⋯xxx⋯an|解:加边得D=|1xx⋯x0a1x⋯x0xa2⋯x⋯⋯⋯⋯⋯0xx⋯an|第一行乘以(-1)分别加到其余各行,化为爪形行列式D=|1xx⋯x-1a1-x0⋯0-10a2-x⋯0⋯⋯⋯⋯⋯-100⋯an-x|=|1+n∑i=1xai-xxx⋯x0a1-x0⋯000a2-x⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯an-x|=(1+xn∑i=11ai-x)n∏i=1(ai-x)=(1+n∑i=1xai-x)n∏i=1(ai-x)四、y=z时,有dn=x-zdn-1+yzn-1+yzn-1+n-zn-1+n-z一般地,当行列式的一行(列)的元素能有规律地表示成两项或多项和的形式,就可以考虑用拆为和的方法来进行计算.例7计算n阶行列式D=|xyy⋯yzxy⋯yzzx⋯y⋯⋯⋯⋯⋯zzz⋯x|解:①当y=z时,易用加边法求得D=(x-y)n-1[x+(n-1)y]②当y≠z时,将D的第n列每个元写成两数之和y=y+0,x=y+(x-y)则D=|xy⋯yzx⋯y⋯⋯⋯⋯zz⋯y|+|xy⋯y0zx⋯y0⋯⋯⋯⋯⋯zz⋯zx-y|=Μ+(x-y)Dn-1其中Μ=|xy⋯yzx⋯y⋯⋯⋯⋯zz⋯y|,将M最后一行乘以(-1)分别加到其余各行.再按第n列展开得M=y(x-z)n-1,于是有Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z)n-1①由于D中y,z的地位对称,于是有Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1②由①,②得Dn=y(x-z)n-z(x-y)ny-z五、dn转换中dnn-,dn+n,dn+n,n+n,n+dn这是解决具有对称关系的行列式的计算方法.例8计算n阶行列式Dn=|α+βαβ0⋯001α+βαβ⋯0001α+β⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯1α+β|解:按第一行展开,得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2即Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2由此递推,即得Dn-αDn-1=βn①由于Dn中α与β对称,则有Dn-βDn-1=αn②当α≠β时,由①,②得Dn=αn+1-βn+1α-β当α=β时,Dn=βn+βDn-1=βn+β(βn-1+βDn-2)=2βn+β2Dn-2=…=(n-1)βn+βn-1D1=(n+1)βn六、计算dn的2.4.21利用数学归纳法进行行列式计算,主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值,再进行证明.例9计算2n阶行列式D2n=|anbn⋱⋰解:当n=1时,D2=|a1b1c1d1|=a1d1-b1c1当n-2时,D4=|a2b2a1b1c1d1c2d2|=(a1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)于是猜想D2n=∏i=1n(aidi-bici)下面用数学归纳法证明(1)当n=1时,显然成立(2)假设当n=k时成立,即D2k=∏i=1n(aidi-bici)当n=k+1时,将D2(k+1)按第一列展开,易得D2(k+1)=(ak+1dk+1-bk+1ck+1)D2k由归纳假设D2k=∏i=1k(aidi-bici),故得D2(k+1)=∏i=1k+1(aidi-bici)所以猜想成立.即D2n=∏i=1n(aidi-bici)例10计算n级行列式Dn=|cosα10⋯0012cosα1⋯00012cosα⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯2cosα1000⋯12cosα|解:易见D1=cosα,D2=cos2α于是猜想Dn=cosnα.下面对阶数n用第二数学归纳法证明.n=1时,结论成立.假设对阶数小于n时,结论成立.将Dn按第n行展开,有Dn=2cosα⋅Dn-1+(-1)2n-1⋅|cosα10⋯0012cosα1⋯00012cosα⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯2cosα0000⋯11|n-1=2cosα⋅Dn-1+(-1)2n-1Dn-2=2cosα⋅cos(n-1)α+(-1)2n-1cos(n-2)α=2cosα⋅cos(n-1)α-cos(n-1)αcosα-sin(n-1)αsinα=cos[(n-1)α+α]=cosnα所以猜想成立.七、行列式计算方法的确定如果行列式D是某个变数x的多项式f(x),可对行列式施行某些变换,求出f(x)的互不相同的一次因式,设这些一次因式的乘积为g(x),则D=f(x)=cg(x),再比较f(x)与g(x)的某一项的系数,求出c值.例11计算行列式Dn=|123⋯n1x+13⋯n12x+1⋯n⋯⋯⋯⋯⋯123⋯x+1|解