利用行列式、线性方程组和矩阵理论证明五一共圆

利用行列式、线性方程组和矩阵理论证明五一共圆

矩阵理论是高等代数的基本结构。这些理论的发展和完善离不开初等数学的有力推动。反过来,利用一些高等代数方法又可以灵活地解决初等数学中的相关问题。下面分别谈谈利用行列式的知识证明四点共圆问题、利用齐次线性方程组解的理论解有关应用题、利用正定与半正定矩阵知识证明不等式。抛砖引玉,以激起大家学习高等代数的兴趣。亦可供中学数学爱好者参考,以拓宽他们的视野,增进他们的求知欲。1.通过建立工人证的方式求法四点共圆问题是初中几何的一个重要内容,参考文献介绍了许多方法。但对于易求四点坐标的题目来说,可以利用行列式的知识来证明它们共圆。下面先给出四点共圆的一个充分必要条件。定理1平面上四点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)共圆的充分必要条件是分析:结论显然。下面通过例题说明如何利用上述结论证四点共圆问题。例1设P(0,a)为平面上一点,过点P做抛物线x2=2py的两条切线交x轴于A、B两点,其中ap<0,抛物线的焦点为F。证明P、A、F、B四点共圆。证明:不妨设a>0、p<0。由上述定理可知P、A、F、B四点共圆。例2(2004年重庆高考题)如图1设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直径做圆H(H为圆心),试证明抛物线的顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。分析:设圆H交x轴于点C,只需证O、A、C、B四点共圆方可。而这四点的坐标容易求出,从而可用上述结论证明。至于第二问,求出其半径表达式,讨论方可。则由k2(x-2p)2=2px,有从而可求得:(只需充分利用行列式的性质及结论xC=xA+xB即可求出结果)所以抛物线的顶点O(0,0)在圆H上。当然,利用上述结论证明该题运算比较烦琐,要求对行列式的计算很熟练,但方法简单、思路清晰且易于掌握。2.+b-b3-b2b我们知道,齐次线性方程组有非0解的充分必要条件是|A|=0。其中这个结论的应用较为广泛,参考文献作了较好的总结。下面我们看看它的另一个应用。例3设ax0+by0=y0+bx0=x0+ay0=z0,其中z0≠0,求a+b-a2-b2+ab的值。解:将已知条件变形为例4五一长假,自驾车游客很多,某高速公路收费站前的车辆排起了长龙。设车辆均匀地来到本站,窗口收费的速度是固定的。如果开放1个收费窗口,30分钟可以收完等待车辆的费用,如果开放2个窗口,20分钟即可收完,要在10分钟内收完相关费用,使随后来到的车辆随到随走,问至少应开放几个窗口?解:设收费站已停车x0辆,每分钟到来车y0辆,每个窗口每分钟收费z0辆,至少应开放窗口n个,则依题意有将x0、y0、z0看作上述对应齐次方程组则有:解之得n=5。所以n≥5方可,即至少应开放5个窗口。注:齐次线性方程组解的理论的应用范围很广,大家应多多总结。若应用得当,会收到“柳安花明、事半功倍”的效果。3.在中国参考文献中,要注意运用好高等分辨率的运用,在一般不当之处,也注意如何掌握如果对任意一组不全为0的实数c1、c2、……、cn来说,都有f(c1,c2,cn)>0,则称之为正定二次型,对应的矩阵A叫做正定矩阵;如果对任意一组不全为0的实数c1、c2、……、cn来说,都有f(c1,c2,cn)≥0,则称之为半正定二次型,对应的矩阵A叫做半正定矩阵。有关矩阵正定和半正定的判定见参考文献的231～237页。正定和半正定矩阵是高等代数的重要内容。在中学数学中,我们也可以用正定和半正定矩阵的知识证明一些不等式,且证明思路清晰,容易掌握。下面举例说明这方面的应用。例5(参考文献30页第12题)设x1,x2,,xn≥0,证明对任意n≥4(n∈N),有:证明:设为半正定二次型,即结论得证。例6(参考文献113页第14题)已知x,y,z∈R,求证。分析:可以采用上述同样方法来证明(略)。例7问t取何值时,下列不等式总成立?解:设f(x,y,z)由矩阵A的一切顺序主子式大于0可得:例8证明柯西不等式:上式要取等号,必须矩阵M的秩小于2,所以bi=kai,k为实数,结论得证。另外,在参考文献135页第14题中有这样一个引理。引理:∆ABC中,其中x,y,z为任意实数。分析:令同样只需证明对应的矩阵半正定方可,方法与前面的完全相同(略)。当然,高等代数方法在中学数学