分块矩阵在构造分块矩阵中的应用

分块矩阵在构造分块矩阵中的应用

0矩阵与各矩阵之间或相互内部之间关系不清分块矩阵是线性矩阵的一个非常重要的工具。要研究很多问题，尤其是在处理高分类矩阵时，并根据分类，我们可以更清楚矩阵之间或矩阵之间的关系，以便确定每个矩阵之间的关系。本文就分块矩阵在计算行列式、证明相关矩阵秩的不等式以及求矩阵的逆等三方面的应用做一研究,每个部分都给出了一些实用性较强的定理和经典例题,通过这些具体实例的应用可以看出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性。1可逆前后多次矩阵相乘分块矩阵是线性代数中的一个基本工具,可以借助分块矩阵的初等变换探讨分块矩阵在行列式计算中的应用,由此来简化行列式的计算。定理1设是一个四分块m+n阶矩阵,其中A、D分别是m、n阶方阵,则|Μ|={|A|⋅|D-CA-1B|‚当A可逆时；|D|⋅|A-BD-1C|‚当D可逆时。定理1虽给出了一种求行列式的方法,但其中涉及求逆及多次矩阵相乘,计算相当繁琐,也不容易记忆。在实际应用中,我们常用的是以下推论:推论1设是一个四分块2n阶矩阵,其中A、B、C、D均是n阶方阵,则(1)当A可逆且AC=CA时,|M|=|AD-CB|;(2)当A可逆且AB=BA时,|M|=|DA-CB|;(3)当D可逆且DC=CD时,|M|=|AD-BC|;(4)当D可逆且DB=BD时,|M|=|DA-BC|。证明仅证(1),(2)、(3)、(4)类似可得。因为A可逆,所以A-1存在,注意到AC=CA,由(E0-CA-1E)(ABCD)=(AB0D-CA-1B)得|ABCD|=|AB0D-CA-1B|=|A|⋅|D-CA-1B|=|AD-ACA-1B|=|AD-CAA-1B|=|AD-CB|‚即|Μ|=|AD-CB|例1计算行列式Q=|21⋯113⋯1⋯⋯⋯⋯11⋯n+1|解对原行列式先进行加边,然后将加边后的行列式的第一行乘-1倍加到其余各行,得:Q=|111⋯1021⋯1013⋯1⋯⋯⋯⋯⋯011⋯n+1|=|111⋯1-110⋯0-102⋯0⋯⋯⋯⋯⋯-100⋯n|由于|D|=n!≠0,D可逆,从而由定理1的推论可得:2ra为n阶方程的法代数中有关矩阵的秩的不等式的证明是一大难点,恰当地构造分块矩阵,将使问题变得柳暗花明。定理2设为m×n矩阵,B为k×l矩阵,则r(M)≥r(A)+r(B),且当C=0时,定理3设A为m×n矩阵,B为n×l矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B)≤n。定理4设P为数域,f(λ)、g(λ)∈P(λ),且f(λ)=q(λ)g(λ)+r,r∈P且r≠0,则对数域P上任意n阶方阵A,f(A)g(A)=g(A)f(A)=0当且仅当r(f(A))+r(g(A))=n。例2设A为n阶方阵,且A2=A,证明r(A)+r(A-E)≤n。证明由A2=A可得:A(A-E)=0,故由定理3知:r(A)+r(A-E)≤n,另一方面,因为r(E-A)=r(A-E),所以,n=r(E)=r(A+E-A)≤r(A)+r(E-A)=r(A)+r(A-E),即r(A)+r(A-E)≥n,从而r(A)+r(A-E)=n。此题中,A2=A不仅是r(A)+r(A-E)=n的充分条件,应用定理4还可以证明A2=A实际上是r(A)+r(A-E)=n的充要条件,证明如下:设f(λ)=λ,g(λ)=λ-1,则f(λ)=g(λ)+1,所以,对任意n阶方阵A,f(A)g(A)=g(A)f(A)=0,当且仅当r(f(A))+r(g(A))=n,即A2=A,当且仅当r(A)+r(A-E)=n。进一步应用定理4可以证明一个较为一般性的命题:定理5设A为n阶方阵,则A3k=A2k当且仅当r(A2k)+r(Ak-E)=n,k=1,2,…,n。证明令f(λ)=λ2k,g(λ)=λk-1,则f(λ)=(λk+1)·g(λ)+1,由定理2知:f(A)g(A)=A3k-A2k=0当且仅当r(A2k)+r(Ak-E)=n,即A3k=A2k当且仅当r(A2k)+r(Ak-E)=n,k=1,2,…,n。3可逆矩阵法c-db-aa在线性代数中,求矩阵的逆的方法有很多种,下面就分块矩阵给出求逆矩阵的方法。定理6设是一个四分块方阵,其中B为r阶方阵,C为k阶方阵,当B与(C-DB-1A)都是可逆矩阵时,则P是可逆矩阵,且类似定理6,可得:定理7设是一个四分块方阵,其中A为r阶方阵,D为k阶方阵,当A与(D-CA-1B)都是可逆矩阵时,则Q是可逆矩阵,且在用分块矩阵求逆矩阵时,常常只针对几种特别的情形,对一般矩阵而言,此种方法并没有实用价值!相比较而言,初等变换法甚是优越。4民族性的应用,要根据实际问题具体分析,选择合适的方法,提升描述者及其本从以上分析可以看出,分块矩阵在简