初中数学总复习三角函数

初中三角函数〖考试要求〗通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.度数sinαcosαtanα30°45°160°1．1

正弦和余弦例1

已知0°≤α≤90°．（1）求证：sinα+cosα=1；（2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sinα+cosα=1，求sinα+cosα的值．证明（1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有sinα+cosα=1．（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有sinα+cosα=1．例2

求证：对于0°≤α≤90°，1．2

正切和余切证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=（2）α必须满足不等式：0°＜α＜90°．如图6-2，所以tgα·ctgα=1．例2

已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解：

x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而证明：如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则所以原式成立．点评

这里α≠0°，90°．怎样理解锐角三角函数的概念？答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．[例]求出图2中sinD，tgE的值．

(3)“sinA”等是一个完整的符号．整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．计算

解答题3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.4.q为三角形的一个角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq.讲解例题计算：（1）sin30°+cos45°；（2）；（3）；（4）填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA=，则∠A=°，sinA=；（2）已知∠B是锐角，且2cosA=1，则∠B=°；（3）已知∠A是锐角，且3tanA=0，则∠A=°；一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。在Rt△ABC中，∠C=90°，，求，∠B、∠A。〖考点复习〗1．锐角三角函数[例1]如图，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝（）A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)BCA[例2]如图,△ABC中∠A=30º,tanB=,AC=BCA2．特殊角的三角函数值[例3]如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2cm，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为m。（精确到0.1m，可能用到的数据，）[例4]计算：-；3．简单应用[例5]如图是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=度，（不考虑青蛙的身高）；〖考题训练〗1．Rt△ABC中，若∠C＝90º，AC＝3，AB＝5，则sinB的值为_______。2．如图，在⊿ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A、B、C、D、3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A、都扩大为原来的5倍B、都扩大为原来的10倍C、都扩大为原来的25倍D、都与原来相等4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=4,则sinA的值是()A、B、C、D、5．在直角三角形ABC中，∠C=90º，已知sinA=,则cosB=_______.6．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为米(结果用含α的三角函数表示).7．如图，等腰三角形ABC的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD=。8．计算：tan60°+|-2|+2-1.9．在△中，，，30º，则∠BAC的度数是.10．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.(不取近似值.以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)①．如图，tan等于（）A．EQ\f(1,2)B．2C．EQ\f(\r(5),5)D．EQ\R(5)②．在中，，AB=15，sinA=EQ\f(1,3)，则BC等于（）A、45B、5C、EQ\f(1,5)D、EQ\f(1,45)③．已知Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A、sinB＝EQ\f(2,3)B、cosB＝EQ\f(2,3)C、tgB＝EQ\f(2,3)D、ctgB＝EQ\f(2,3)④．计算：sin30°＝.⑤．计算cos60º＋EQ\f(2,\r(2))－EQ\R(8)－2－1⑥如图，在△ABC中，∠C=90º，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=EQ\f(3,5)，则BC的长是（）A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm⑦．如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB的值为()A、EQ\f(1,2)B、EQ\f(\r(7),3)C、EQ\f(3\r(7),7)D、EQ\f(3,4)20.我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,),∴=a(60-110)2+20.∴a=.∴z=(t-110)2+20(t>0).