黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期9月考试数学试题（含答案）

哈尔滨市第九中学2023-2024学年度高二上学期9月份考试数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1．空间向量（）A． B． C． D．2．点关于坐标平面yOz对称的点B的坐标为（）A． B． C． D．3．设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A． B． C． D．4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A． B． C． D．5．如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．6．已知，，则的最小值为（）A． B． C． D．7，如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，，，则CD的长为（）cm．A． B． C．5 D．8．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（）A． B． C． D．10．以下关于向量的说法正确的有（）A．若空间向量，，满足，则B．若空间向量，，满足，则C．若空间向量，满足，，则D．若空间向量，满足，，则11．已知向量，，则下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．不存在实数，使得 D．若，则12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A．B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2C．点P到直线CQ的距离是d．异面直线CQ与所成角的正切值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，且，则______．14．已知向量，，，若，，共面，则x等于______．15．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为______．16．三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为______．四．解答题（本大题共6题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．（1）证明：；（2）求平面的法向量．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线平面ABCD；（2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，．（1）求直线BF与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面FBD的距离．20．（本小题满分12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．（1）若，，求的斜60°坐标；（2）在平行六面体中，，，，如图建立“空间斜60°坐标系”．①若，求向量的斜60°坐标；②若，且，求．21．（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，，，，平面ABCD．（1）若点M是AD的中点，求证：平面；（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，圆锥SO，S为顶点，O是底面的圆心，AE为底面直径，，圆锥高，点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形．（1）若，证明：平面PBC；（2）点P在高SO上的动点，当PE和平面PBC所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积．2023年高二数学9月月考参考答案1-8BBCCDCDA 9．ABD 10．BD 11．ACD 12．BCD13． 14．1 15． 16．17．【详解】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设，，所以，所以．（2），，，，设平面的法向量为，则，故可设，平面的法向量为，（答案不唯一）18．【详解】（1）连接BD，∵M，N分别是PD，PB的中点．∴，又∵平面ABCD，平面ABCD∴直线平面ABCD．（2）∵，，，∴，，∴，，∴AB，AD，AP两两之间互相垂直，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，又∵M，N分别是PD，PB的中点，∴，，∴，，，设平面MCN的法向量为，由可得解得，令可得法向量，∵，，，平面ABCD，∴平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量，，令平面MCN与平面ABCD夹角为且为锐角，∴，∴平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值为．19．【详解】（1）设，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，因为z轴垂直于平面ABCD，因此可令平面ABCD的一个法向量为，又，设直线BF与平面ABCD的夹角为，则有，即，所以直线BF与平面ABCD的夹角为．（2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，，可设平面FBD的法向量为，则，得，令，得，，即，又因为，所以点A到平面FBD的距离为．20．【详解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：设分别为与、、同方向的单位向量，则，，，①②由题，因为，所以，由知则．21．【详解】（1）方法一：连接，由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，即，又平面，平面，所以平面．方法二：连接，，由已知得，且，，即又平面，平面，所以平面．（2）取BC中点Q，连接AQ，由题易得是正三角形，所以，即，由于平面ABCD，分别以AQ，AD，为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，，，，，假设点E存在，设点E的坐标为，，，，设平面的法向量，则，即，可取，又平面的法向量为，所以，解得：．由于二面角为锐角，则点E在线段QC上，所以，即．故BC上存在点E，当时，二面角的余弦值为．22．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，易知底面圆O，而底面圆O，所以，又在中，，所以，因为是正三角形，所以，且，，所以，，同理可证，又，平面PBC，