第4章 连续系统的复频域分析

第4章连续系统的复频域分析9/22/20231学习本章，要求确立信号的s域表示和系统的复频域分析思想，掌握拉氏变换（拉普拉斯变换）与反变换的方法，以及系统函数、s域模型、零极点和稳定性的概念。学习重点：单边拉氏变换及其重要性质；用于拉氏变换的部分分式展开法（分解定理）；电路元件的基本定律和s模型；微分方程的s域求解；系统函数极其零极点分析；系统稳定性的概念。第4章连续系统的复频域分析学习目标：9/22/20232将时域时间t为变量的微分方程变换为复数为变量的代数方程。同时考虑起始状态和输入信号，然后通过反变换求响应的时域解。其基本思路是：微分方程s域代数方程解s域代数方程时域解答L变换L-1变换4.0引言9/22/202334.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.1从傅立叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换对变换条件条件不满足呢？9/22/20234令一般收敛函数：（σ为一为正实数）则：两边同乘以4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.1从傅立叶变换到拉普拉斯变换9/22/20235令一般收敛函数：（δ为一为正实数）则：令：双边拉普拉斯换对4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.1从傅立叶变换到拉普拉斯变换9/22/20236双边拉普拉斯换对表示为：正变换反变换条件：4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）9/22/202374.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯换对条件：满足条件中σ的取值范围，称为收敛域。9/22/202384.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域例4.1-1求时限信号f1(t)=ε(t)-ε(t-τ)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，τ＞0。解：若：上式：s平面9/22/20239例4.1-2求因果信号

的双边拉氏变换和收敛域。解：由定义4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域9/22/202310即：若：不存在！s平面收敛域4.1.1单边拉氏变换例4.1-2求因果信号

的双边拉氏变换和收敛域。4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域因果信号（拉氏变换存在）收敛于s平面右侧区域。9/22/202311例4.1-3求反因果信号

的双边拉氏变换和收敛域。解：由定义4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域若：上式：反因果信号（拉氏变换存在）收敛于s平面左侧区域。9/22/2023124.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域解：上式：例4.1-4求非时限双边信号的双边拉氏变换及其收敛域。式中，β>α＞0。9/22/2023134.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.3单边拉普拉斯变换9/22/2023141、单位冲激信号4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换同理：9/22/2023152、单位阶跃信号4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换9/22/2023163、正（余）弦信号（）同理：4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）9/22/2023174、衰减正（余）弦信号（）同理：4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）9/22/2023185、斜坡函数同理：4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换（LaplaceTransform）9/22/202319主要有：线性性质、微分性质、时移性质、积分性质、卷积定理、尺度……1.线性性质若：则：4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/2023204.2单边拉普拉斯变换的性质2.延时特性（时移性质）证明：令：证毕9/22/202321解：例1已知斜坡信号的拉氏变换为，求，，，的拉氏变换。9/22/202322例2求周期（单边）信号的拉氏变换周期（单边）信号若：9/22/202323解：例3求单相全波整流信号的拉氏变换。

思考？9/22/202324证明：证毕例如：3.复频移特性（调制性质）4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202325证明：证毕4.尺度变换4.2单边拉普拉斯变换的性质可以证明：9/22/202326（证明略）对于已知系统：时域表示s域表示5.时域卷积4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202327例4利用卷积定理求的原函数。解：令：则：更简单地：4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202328证明：证毕同理：若f(t)是因果（有始）信号微分转换为乘法！6.时域微分4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202329已知：例5求RC电路的响应。

解：列出微分方程代入参数两边拉氏变换拉氏反变换注意本题的思路！！9/22/202330再如：已知电感中的电流的拉氏变换为求电压的拉氏变换由于：两边拉氏变换：若：在时域中（相量表达式）4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202331证明：证毕即：积分转换为除法！若：7.时域积分4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202332例如：7.时域积分4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202333再如：已知电容中的电流的拉氏变换为求电压的拉氏变换由于：两边拉氏变换：若：在时域中（相量表达式）4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202334例6已知三角形脉冲信号如图所示，试求其拉氏变换。时域微分、时域积分的具体应用解：对两次求导数9/22/2023358.复频域微分4.2单边拉普拉斯变换的性质9.复频域积分9/22/202336初值定理终值定理证明：10.初值定理与终值定理4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202337当时，上式右端第二项的极限为:因此，对式取的极限，有:10.初值定理与终值定理4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202338当时，上式右端第二项的极限为:因此，对式取的极限，有:10.初值定理与终值定理4.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/202339因此，初值定理终值定理应用：求函数的初值与终值。其他性质参见表4-14.2单边拉普拉斯变换的性质9/22/2023404.3单边拉普拉斯逆变换主要方法有：查表法、部分分式展开法和留数法。其中部分分式展开法用于有理分式，留数法用于有理分式和无理分式。4.3.1查表法例4.3-1已知 ，求F(s)的原函数f(t)。解F(s)可以表示为：查表：得：9/22/2023414.3.2部分分式展开法当时，为真分式，可以用待定系数法进行因式分解。当时，为假分式，可以化简为一个代数式与真分式的代数和，在用待定系数法对真分式因式分解。4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/2023421、极点（）为实数且无重根设时，。则：两边同乘以，有：则：同理：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202343由于：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202344例1设出，求。解：令：得极点：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202345例2设，求。解：令：得极点：注意：分式的除法？4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/2023462、极点中含有共扼复根（成对出现）把相关部分分解为：可以按照第1种情况求4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202347例3假设，求。解：（法一）得极点：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202348例3假设，求。解：（法二）4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/2023493、极点中有m阶重根（以三重根为例）把相关部分分解为：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/2023503、极点中有m阶重根（以三重根为例）一般地说：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/202351例4已知，求。解：4.3单边拉普拉斯逆变换9/22/2023524.4连续系统的复频域分析所以：系统函数：时域LTI系统LTI系统复频域9/22/2023534.4连续系统的复频域分析4.4.1基本信号激励下的零状态响应因为：所以：复指数线性叠加9/22/2023544.4连续系统的复频域分析4.4.2一般信号激励下的零状态响应9/22/2023554.4连续系统的复频域分析4.4.2一般信号激励下的零状态响应由此可得用复频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：（1）求输入信号的单边拉普拉斯变换；

（2）求系统函数；

（3）求零状态响应单边拉普拉斯变换；

（4）求的反变换，即得。9/22/2023564.4连续系统的复频域分析4.4.2一般信号激励下的零状态响应例4.4-1已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-tε(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若输入为f2(t)=tε(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。9/22/2023574.4连续系统的复频域分析4.4.2一般信号激励下的零状态响应例4.4-1已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-tε(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若输入为f2(t)=tε(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。9/22/2023584.5微分方程的复频域解（1）通过拉氏变换将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程。（2）系统的初始条件自动包含在像函数中，一举求出完全解（也可以分别求零状态和零输入响应）。（3）可以直接写出电路的s域模型，求其象函数，再变换求原函数。9/22/2023594.5微分方程的复频域解设二阶连续系统的微分方程为两边拉氏变换[f(t)为因果信号]9/22/2023604.5微分方程的复频域解令：得：特征多项式零输入响应零状态响应系统函数9/22/2023614.5微分方程的复频域解得：9/22/2023624.5微分方程的复频域解关于n阶系统的初始条件和初始状态的关系对于因果系统，若输入因果信号，则：对于连续线性因果系统，若在t<0和t>0时yx(t)满足的微分方程相同，则有：9/22/2023634.5微分方程的复频域解例4.5-1已知线性系统的微分方程为求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。解：两边拉氏变换9/22/2023644.5微分方程的复频域解而：考虑初始条件9/22/2023654.5微分方程的复频域解9/22/202366例4.5-2设微分方程已知：，，求：。解：方程两边拉氏变换代入：得：4.5微分方程的复频域解9/22/2023674.6RLC系统的复频域分析4.6.1KCL、KVL的复频域形式时域形式：两边拉氏变换：s域形式：9/22/2023681、电阻元件时域模型s域模型分别称为s域中的电压、电阻、电流4.6RLC系统的复频域分析4.6.2系统元件的复频域形式9/22/2023692、电容元件分别称为s域中的容纳、容抗、电流4.6.2系统元件的复频域形式4.6RLC系统的复频域分析9/22/2023703、电感元件分别称为s域中的感纳、感抗、电流4.6.2系统元件的复频域形式4.6RLC系统的复频域分析9/22/202371例如：求下列电路的s域模型其他定理（略）4.6.2系统元件的复频域形式4.6RLC系统的复频域分析9/22/202372基本步骤：（1）将电路全部进行s域模型变换。（2）建立响应的电路方程。（3）求解电路方程的s域解。（4）将响应的s域解进行反变换，求出时域解。注意：（1）“全部”包含电路元器件和独立电源、受控电源、回转器等。（2）建立响应的电路方程可以使用所有的电路分析定律、定理。（3）时域解可以是零状态响应、零输入响应或全响应。4.6RLC系统的复频域分析4.6.3RLC系统的复频域模型及分析方法9/22/202373例如：电路如图所示，已知起始状态，，输入，，试求响应。解：利用节点电位法4.6RLC系统的复频域分析9/22/202374解：4.6RLC系统的复频域分析例如：电路如图所示，已知起始状态，，输入，，试求响应。9/22/2023754.7连续系统的表示和模拟4.7.1连续系统的方框图表示几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元(子系统)连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器(放大器)、积分器等。9/22/2023764.7.1连续系统的方框图表示4.7连续系统的表示和模拟1、系统的串联9/22/2023774.7.1连续系统的方框图表示4.7连续系统的表示和模拟2、系统的并联9/22/2023784.7.1连续系统的方框图表示4.7连续系统的表示和模拟3、反馈系统9/22/2023794.7.1连续系统的方框图表示4.7连续系统的表示和模拟例4.7-1某线性连续系统如图所示。其中，h1(t)=δ(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=δ(t-3)。

(1)试求系统的冲激响应h(t);(2)若f(t)=ε(t)，试求系统的零状态响应yf(t)。解：9/22/202380A、加减运算关系时域方框图s域方框图4.7.1连续系统的方框图表示4、用基本运算器表示系统4.7连续系统的表示和模拟9/22/202381B、标量乘法运算关系时域方框图s域方框图4.7连续系统的表示和模拟4.7.1连续系统的方框图表示4、用基本运算器表示系统9/22/202382C、积分（微分）运算关系时域方框图s域方框图4.7连续系统的表示和模拟4.7.1连续系统的方框图表示4、用基本运算器表示系统9/22/202383已知简单的RL电路，有：两边拉氏变换，有：+4.7连续系统的表示和模拟4.7.1连续系统的方框图表示9/22/2023844.7连续系统的表示和模拟4.7.1连续系统的方框图表示例4.7-2某线性连续系统如图所示。求系统函数H(s),写出描述系统输入输出关系的微分方程。F(s)Y(s)a0a1+-­b0b1s2X(s)sX(s)X(s)++＋＋s1s1解：9/22/2023854.7连续系统的表示和模拟F(s)Y(s)a0a1+-­b0b1s2X(s)sX(s)X(s)++＋＋s1s19/22/2023864.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示H1(s)X1(s)X2(s)X2(s)=X1(s)H1(s)(a)H1(s)X2(s)X4(s)X1(s)X3(s)H2(s)H3(s)(b)X4(s)=X1(s)H1(s)+X2(s)H2(s)+X3(s)H3(s)9/22/2023874.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示H1(s)X2(s)X(s)X1(s)X3(s)H2(s)H3(s)(c)X1(s)=X(s)H1(s)X2(s)=X(s)H2(s)X3(s)=X(s)H3(s)H1(s)X2(s)X4(s)X1(s)X3(s)H2(s)H3(s)H5(s)H6(s)X5(s)X6(s)(d)X4(s)=X1H1(s)+X2(s)H2(s)+X3(s)H3(s)X5(s)=X4(s)H5(s)X6(s)=X4(s)H6(s)9/22/202388A、常用术语定义节点：表示系统中变量或信号的点。转移函数：两个节点之间的增益。支路：连接两个节点之间的定向线段。源点：只有输出支路的节点。汇点（阱点）：只有输入支路的节点。4.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示9/22/202389A、常用术语定义通路：沿支路方向通过各相连支路的路径（不允许有相反的支路存在）。闭合通路（环路）：通路的起点就是通路的终点，且与其他节点相交不多余一次。环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。不接触环路：两环之间无任何公共的节点。前向通路：从源点到汇点通路上，通过任何节点不多余一次的全部路径。前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。4.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示9/22/2023904.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(s)(a)F(s)Y(s)F(s)Y(s)a(b)aF1(s)F2(s)++Y(s)(c)F2(s)Y(s)F1(s)11F(s)Y(s)F(s)Y(s)(d)s1s1＋9/22/2023914.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示例4.7-3某线性连续系统的方框图表示如图4.7-9(a)所示。画出系统的信号流图。Y(s)F(s)1X1(s)H1(s)H3(s)X2(s)H2(s)(b)+(a)+X1(s)H1(s)H3(s)H2(s)Y(s)X2(s)＋F(s)9/22/2023924.7连续系统的表示和模拟4.7.2连续系统的信号流图表示例4.7-4某线性连续系统的方框图表示如图4.7-10(a)所示。画出系统的信号流图。F(s)Y(s)a0a1+­­b0b2X1(s)++s1s1X2(s)X3(s)+b1(a)＋＋Y(s)F(s)1X1(s)X2(s)(b)­a1­a0s1s1X3(s)b2b1b09/22/2023934.7.3连续系统的模拟–直接形式4.7连续系统的表示和模拟二阶系统9/22/202394n阶系统4.7连续系统的表示和模拟4.7.3连续系统的模拟–直接形式9/22/202395一般（有零点和极点）系统的直接形式令:则:再令:4.7连续系统的表示和模拟4.7.3连续系统的模拟–直接形式9/22/202396则:4.7连续系统的表示和模拟4.7.3连续系统的模拟–直接形式9/22/2023974.7连续系统的表示和模拟9/22/202398例如：电路如图所示，求系统函数，并画出模拟图。解：4.7连续系统的表示和模拟9/22/202399例如：电路如图所示，求系统函数，并画出模拟图。4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023100复杂系统往往由多个子系统经过串联、并联、反馈等形式连接起来。因此，系统的模拟可以有不同的表示形式。A、串联形式设系统有零点和极点分别是：4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023101例如：解：+++++4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023102B、并联形式+4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023103例如：解：+++4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023104C、混联形式++4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023105D、反馈形式4.7.3连续系统的模拟–级联形式4.7连续系统的表示和模拟9/22/2023106的零点为：、、、，4.8系统函数与系统特性4.8.1H(s)的零点和极点则称为的零点，此时，表示为“○”。则称为的极点，此时，表示为“×”。极点为：、、、。将系统函数的全部零、极点画在s平面上，称为H(s)的零极点图。9/22/2023107例如，已知H(s)如下所示，画出H(s)的零极点图。解：则：（二阶极点）（一阶共轭极点）零极点图4.8.1H(s)的零点和极点4.8系统函数与系统特性9/22/2023108零极点的物理意义可以看出，当，有可以看出，当，有表示出系统工作的极端状态4.8.1H(s)的零点和极点4.8系统函数与系统特性9/22/2023109由于：设H(s)有单极点则：如：零极点分布与时域的对应关系见P192。4.8系统函数与系统特性4.8.2H(s)的零极点与时域响应9/22/2023110自由响应强迫响应4.8系统函数与系统特性4.8.3H(s)、F(s)零极点分布与自由响应和强迫响应的对应*

9/22/2023111例如：已知，求中的自由响应与强迫响应。解：自由响应强迫响应4.8系统函数与系统特性9/22/2023112令：其中：4.8系统函数与系统特性4.8.4H(s)与系统的频率响应9/22/2023113当：稳态响应结论：稳定系统，其稳态响应仍然是同频率的信号（稳定系统，极点为负实数）4.8系统函数与系统特性9/22/2023114由：得：令：取，也即，在s平面中s沿虚轴移动，得到：可见，系统函数的零极点要影响其频率特性。4.8系统函数与系统特性4.8.4H(s)与系统的频率响应9/22/2023115设：即：4.8系统函数与系统特性9/22/2023116例如：已知高通滤波器如图所示，求它的频率特性。解：4.8系统函数与系统特性9/22/2023117例如：已知高通滤波器如图所示，求它的频率特性。4.8系统函数与系统特性9/22/2023118例如：已知二阶系统如图所示，求它的频率特性。解：假设：4.8系统函数与系统特性9/22/2023119例如：已知二阶系统如图所示，求它的频率特性。4.8系统函数与系统特性9/22/20231204.8.5H(s)与系统的稳定性概念：当系统受到某种干扰时，所引起的响应在干扰过后最终会消失，称系统是稳定系统。即：注意：系统的稳定性只与系统属性有关，与激励信号无关。具体包括三类系统：稳定系统：H(s)的全部极点位于s的左半平面。临界稳定系统：H(s)在虚轴上有p=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点均在s的左半平面。不稳定系统：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或在虚轴上有二阶及以上的重极点。4.8系统函数与系统特性9/22/2023121例如：根据k的取值判断系统的稳定性。解：4.8系统函数与系统特性9/22/2023122例如：判断如图所示系统的稳定性，其中A理想。解：A判断：稳定临界稳定不稳定4.8系统函数与系统特性9/22/2023123例如：判断如图所示线性系统的稳定性，其中K从0增大。解：不稳定临界稳定临界稳定稳定4.8系统函数与系统特性9/22/2023124例如：判断如图所示线性系统的稳定性，其中K从0增大。不稳定临界稳定临界稳定稳定K从0增大极点的移动4.8系统函数与系统特性9/22/2023125必要条件：H(s)的分母多项式的全部系数非零且均为正实数。充要条件：对二阶系统，的全部系数非零且为正实数。充要条件：对三阶系统，的各项系数全为正，且满足n阶系统：用罗斯-霍尔维兹准则判断。4.8系统函数与系统特