第3章 恒定电流的磁场

第3章恒定电流的磁场3.1恒定磁场的基本方程3.2磁介质的磁化、磁场强度3.3恒定磁场的边界条件3.4自感和互感习题3.1恒定磁场的基本方程3.1.1磁通（量）密度

设真空中有两个载有线电流的回路C1和C2，I1dl1和I2dl2分别为C1和C2回路上的电流元(如图3-1所示)，则电流回路C1对C2的作用力F12为（3-1-1）图3-1两电流回路间的相互作用力上式称为安培力定律（Ampere'sForceLaw）。

对安培力定律，用场的观点来解释，可以认为电流回路之间的相互作用力是通过磁场来传递的。因此，将式（3-1-1）改写为式中，括号中的量值取决于电流回路C1的电流分布及源点到场点的距离矢量R，而与电流回路C2无关，故可定义图3-2由Q点电流元在P点产生的场上式为电流回路C1在R处的磁场矢量，称为磁通密度（MagneticFluxDensity）。与静电场中采用的方法相似，为了方便讨论，用不带撇的坐标表示场点，用带撇的坐标表示源点，如图3-2所示。将上式改写为（3-1-2）式(3-1-2)称为毕奥—萨伐尔定律（Biot

Savart'sLaw），它表示载有恒定电流I的导线在场点(x,y,z)或r处所产生的磁通密度。注意，B,dl′和aR

三者互相垂直，并遵循右手螺旋关系。若产生磁通密度的电流不是线电流，而是体电流分布J(r′)或面电流分布JS(r′)，则它们所产生的磁通密度分别为（3-1-3）（3-1-4）【例3-1】一根长为2l的直导线沿z轴放置，通过z方向的电流为I，求其在周围产生的磁通密度。图3-3载流导线产生的磁场3.1.2磁通密度的散度及磁通连续性原理

1.磁通密度的散度利用式，式（3-1-3）又可以写为应用恒等式▽

▽

×(ψA)=▽ψ×A+ψ▽×A同时注意到▽

是对场点作用的算子，故▽

×J(r′)=0，磁通密度可以表达如下（3-1-5）又根据恒等式▽

·(▽

×A)≡0，可得

▽

·B=0（3-1-6）

式（3-1-6）表明，

由恒定电流产生的场是无散场或连续的场。

一个散度为零的矢量可用另一个矢量的旋度来表示。磁通密度的散度恒等于零，所以它可以用矢量A的旋度来表示，即

B=▽

×A（3-1-7)

由第1章已知，只有当一个矢量场的散度和旋度同时确定时，这个矢量场才唯一确定。比较式（3-1-5）和（3-1-7）得

（3-1-8）

此处A称为磁矢位(MagneticVectorPotential)，其单位为Wb/m（韦伯/米）。

如果电流为面电流分布或线电流分布，其磁矢位A的表达式分别为（3-1-9）（3-1-10）式（3-1-8）～（3-1-10）表明，磁矢位A的方向与电流源的方向一致。因此当电流分布已知，利用上述公式即可求得磁矢位A，再对其求旋度便得到磁通密度B，这样做比较方便。另外，磁矢位的表达式（3-1-8）至式（3-1-10）的参考点均选在无穷远处。与静电场相似，当源延伸到无穷远点时，必须重新选择参考点，以表达式简捷、有意义为准则。

【例3-2】求如图3-4所示的一个半径为a的微小电流环的磁矢位和磁通密度。图3–4电流圆环产生的磁场图3-5带电流的圆环所产生的磁力线2.磁通连续性原理通过任意曲面S上的磁通量（MagneticFlux）定义为（3-1-13）若曲面

S为闭合曲面，则穿过闭合曲面S的磁通量为对上式应用散度定理，有（3-1-14）式中，V为闭合曲面S所包围的体积。3.1.3磁场强度与安培环路定律在研究静电场时，我们曾用电场强度将电通密度表示为D=εE。现在，我们定义自由空间的磁场强度（MagneticIntensity）H为（3-1-15）或B=μ0H

（3-1-16）安培环路定律(Ampere'sCircuitalLaw)简称为安培定律，它阐明磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于闭合路径所包围的电流，即（3-1-17）

此处的电流I为闭合路径所包围面积内的净电流，它可以是任意形状导体所载的电流。将上式应用斯托克斯定理，并考虑到电流可用体电流密度表示为

，因而所以

▽×H=J（3-1-18）式（3-1-18）为恒定磁场中安培定律的微分形式。它表明由恒定电流产生的磁场是有旋场。式（3-1-14）和（3-1-17）称为恒定磁场基本方程的积分形式，式（3-1-6）和（3-1-18）称为恒定磁场基本方程的微分形式。在静电场中，要计算对称分布的电荷在某一区域的电场时，我们利用了高斯定理。而在恒定磁场中，如果电流或电流分布对称，用安培定律就可以简捷地求出磁场，而无需用毕奥—萨伐尔定律的复杂积分过程。【例3-3】一根沿z轴的无限长直导线通过z方向的电流I。试用安培定律求空间任一点的磁场强度与磁通密度。解由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，如图3-6所示。沿每个圆的磁场强度值是相同的，因此对任意半径ρ，有图3–6载流长直导线的磁场所以，空间任一点的磁场强度为磁通密度为可见，用安培定律算得的结果与例3-2的相同，但却简便得多。图3–7同轴电缆的磁场【例3-4】无限长同轴电缆内导体半径为a、外导体内外半径分别为b和c。电缆中有恒定电流I流过（内导体上电流为I，外导体上电流为反方向的I），求电缆内、外空间的磁场。设内外导体间为空气。3.1.4矢量泊松方程

因为B=▽

×A和B=μ0H，所以

再将其两边取旋度得

▽

×▽

×A=μ0J

根据矢量恒等式：

▽

×▽

×A=▽

(▽

·A)-▽2A

同时考虑到库仑规范▽

·A=0，可得

▽

2A=-μ0J（3-1-19）式（3-1-19）称为矢量泊松方程(VectorialPossionEquation)。对于无源区域（J=0），有

▽

2A=0（3-1-20）

式（3-1-20）称为矢量拉普拉斯方程(VectorialLaplaceEquation)。必须指出，这里的▽2后面是矢量，所以称为矢量拉普拉斯算子(▽

2A=▽

(▽·A)-▽

×▽×A)，同标量拉普拉斯方程中的▽

2算子（▽

2后面是标量，称为标量算子）完全不同。在直角坐标系中，A=axAx+ayAy+azAz，代入式（3-1-19）中得到

▽

2(axAx+ayAy+azAz)=-μ0(axJx+ayJy+azJz)由于▽

2(axAx)=(▽

2ax)Ax+(▽2Ax)ax=(▽2Ax)ax，因而上式可分解为三个分量的泊松方程:（3-1-21）

图3-8铁磁体槽【例3-5】沿z轴方向和+y方向为无限长的铁磁体槽，其内有一很长的z轴方向电流I，如图3-8所示。如果铁磁体的磁导率μ→∞。试写出槽内磁矢位A应满足的微分方程及边界条件。3.2磁介质的磁化、磁场强度从电磁学中知道：长度为L、载流为I的均匀密绕的螺线管线圈的中心的磁通密度最大。如果将不同物质的样品放在螺线管的上端，并观察它们所感受的力,如图3-9所示,结果发现不同样品将会受到不同的力。图3–9螺旋管的磁通密度由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱，因此实际上将它们归在一起，统称为非磁性物质，非磁性物质的磁导率与自由空间的相同。下面我们讨论磁性物质的磁化。在磁性物质（常称为媒质）中，分子中的电子以恒速围绕原子核作圆周运动形成分子电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子。其磁偶极矩pm的表达式为

pm=IaS（3-2-1）式中，Ia为分子电流，S为分子电流环的面积矢量，其方向与分子电流Ia的绕行方向成右手螺旋关系，如图3-10所示。图3-10分子磁偶极矩在没有外加磁场时，就一般媒质而言，由于各分子磁矩的取向随机而相互抵消，对外不呈磁性，如图3-11(a)所示。在外施磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列,如图3-11(b)所示。磁偶极子的有序排列类似于电偶极子在电介质中的有序排列，但有显著的区别。电偶极子的有序排列总是减弱原来的电场，而磁介质中磁偶极子的有序排列则是加强原来的磁场。媒质内部磁偶极子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的电流,如图3-11(c)所示。这些电流称为束缚电流(BoundCurrent)，它在媒质内部产生一个附加场。图3-11磁偶极子的排列磁偶极子随机排列的磁性物质；(b)外场B使磁偶极子有序排列；(c)排列好的电流环等效于沿物质表面的电流设在体积ΔV内有n个原子，pmi是第i个原子的磁矩，于是单位体积的磁矩定义为（3-2-2）

如果M≠0，表明该物体是已经磁化的。设在磁化介质中取一个体积元dV′，其磁矩为MdV′，由它所产生的磁矢位为体积V内的磁化磁矩所产生的磁矢位为（3-2-3）利用恒等式磁矢位可以写成利用矢量恒等式令

Jb=▽

×M（3-2-4）为束缚体电流密度，

JSb=M×n（3-2-5）为束缚面电流密度。在式（3-2-4）和（3-2-5）中，我们略去了上面的撇，但须理解旋度与叉乘运算都是对源点进行的，其中的n为媒质的外法向单位矢量。

磁矢位A可重写为（3-2-6）式（3-2-6）表明，媒质磁化后所产生的附加场，可用束缚电流Jb和JSb来等效计算。如果空间中同时还有自由体电流密度J和自由面电流密度JS，则在计算磁化后总的合成磁场时，可以把媒质所占空间视为真空，把束缚电流和自由电流在真空中产生的磁场进行叠加，即因此有

B=μ0(H+M)（3-2-7）上式适用于任何线性的或非线性的媒质。对于线性、均匀、各向同性的媒质，磁矩M与H的关系为

M=χmH（3-2-8）

此处χm为一比例常数，称为磁化率(Magnetic

Susceptibility)。将式（3-2-8）代入式（3-2-7），得

B=μ0(1+χm)H=μ0μrH=ΜH（3-2-9）综合第2章媒质的极化、导电及磁化性能，对线性各向同性媒质，有下列方程

D=εE

J=σE

B=ΜH（3-2-10）

这三个方程通常叫做媒质的本构方程(ConstitutiveEquations)。3.3恒定磁场的边界条件在通过具有不同磁导率的两种媒质的交界面时，一般来说磁场也要发生突变。为此，我们从恒定磁场基本方程的积分形式出发，来确定磁场在交界面上的突变规律，该突变规律也称为边界条件。由恒定磁场的两个基本方程∮SB·dS=0和∮CH·dl=I,用与静电场的边界条件相类似的方法，可以得到边界条件的表达式

B1n=B2n

或n·(B1-B2)=0H1t-H2t=JS或n×(H1-H2)=JS

（3-3-1）

式（3-3-1）的第一式表示，在分界面处磁通密度B的法向分量是连续的；其第二式表明在分界面处磁场强度H的切向分量一般是不连续的，除非分界面上的面电流密度JS=0。

图3-12两种磁介质的边界如果分界面上的JS=0，如图3-12所示，则有（3-3-2）式（3-3-2）表明：（1）如果θ2=0，则θ1=0。换句话说，磁场垂直穿过两种磁介质的分界面时，磁场的方向不发生改变，且数值相等；（2）如果μ2>>μ1，且θ2≠90°，则θ1→0。这就是说，磁场由铁磁体物质穿出进入一个非磁性物质的区域时，

磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面，

这与电场垂直于理想导体的表面类似。

【例3-6】设x<0的半空间充满磁导率为μ的均匀媒质，x>0的半空间的磁导率为μ0，现有一无限长直电流I沿z轴正向流动，且处在两种媒质的分界面上，如图3-13所示。求两种媒质中的磁通密度和磁化电流的分布。图3-13两种媒质中的磁通密度3.4自感和互感在线性媒质中，一个电流回路在空间任一点产生的磁通密度B的大小与其电流I成正比，因而穿过回路的磁通量也与回路电流I成正比。如果一个回路是由一根导线密绕成N匝，则穿过这个回路的总磁通（称为全磁通）等于各匝磁通之和，也就是一个密绕线圈的全磁通等于与单匝线圈交链的磁通和匝数的乘积，所以，全磁通又称为磁链(MagneticFluxLinkage)。若当穿过回路的磁链Ψ是由回路本身的电流I产生的，则磁链Ψ与电流I的比值（3-4-1）称为自感(SelfInductance)或电感（Inductance），单位为H（亨）。它取决于回路的形状、尺寸、匝数和媒质的磁导率。若有两个彼此靠近的回路C1、C2，电流分别为I1和I2，如果回路C1中电流I1所产生的磁场与回路C2相交链的磁链为Ψ12，则比值（3-4-2）定义为互感M12。同样，如果回路C2中电流I2所产生的磁场与回路C1相交链的磁链为Ψ21，则Ψ21与I2的比值（3-4-3）【例3-7】求如图3-14所示双线传输线单位长度的自感，导线半径为a，导线间距离D>>a。图3-14双导线自感的计算【例3-8】有一长方形闭合回路与双线传输线同在一平面内，如图3-15所示，回路两长边与传输线平行，求传输线与回路之间的互感。图3-15双线传输线与矩形线圈互感的计算习题3.1自由空间中有一半径为a的载流线圈，电流强度为I，求其轴线上任一点处的磁通密度。3.2真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路，如图题3.2所示，求通过三角形回路的磁通量。3.3若半径为a、电流为I的无限长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为μ0，求导体内、外的磁场强度H和磁通密度B。图题3.2图题3.43.5在下面的矢量中，哪些可能是磁通密度B？如果是，与它相应的电流密度J为多少？（1）F=aρρ（圆柱坐标系）;（2）F=-axy+ayx;（3）F=axx-ayy;（4）F=-aφr（球坐标系）。3.6已知某电流在空间产生的磁矢位是

A=axx2y+ayxy2+az(y2-z2)

求磁通密度B。3.7两半径为a，平行放置的长直圆柱导体，轴线距离为d（d<2a）。现将相交部分挖成一空洞，并且在相交处用绝缘纸隔开，如图题3.7所示。设两导体分别通有电流面密度J1=J0az和J2=-J0az的电流，求空洞中的磁场强度。图题3.73.8边长分别为a和b载有电流I的小矩形回路，如图题3.8所示，求远处的一点P(x,y,z