2012-2013学年福建省泉州市德化县九年级(上)期中数学试卷

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2012-2013学年福建省泉州市德化县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．1．（3分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1=0有一根是0，则m的值为（）A．m=﹣1或m=1B．m=﹣1C．m=1D．m=04．（3分）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2B．C．﹣4D．25．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠DD．∠C=∠AED6．（3分）（2009•梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．7．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．（4分）方程4x2=1的解是_________．9．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣k）2=1﹣2k有实数根，则k的取值范围是_________．10．（4分）（2009•太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是_________．11．（4分）（2011•新疆）若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．12．（4分）（2014•平房区一模）计算：=_________．13．（4分）若与是同类二次根式，则a可以取值为_________（只需写出2个符合条件的不同a值）．14．（4分）（2002•湛江）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，若，则=_________．15．（4分）如图，要使△ABD∽△ACB，还需增添的条件是_________（写一个即可）．16．（4分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为_________．17．（4分）（2010•连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为_________，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=_________．三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答18．（9分）已知：，求的值．19．（9分）计算：．20．（9分）解方程．21．（9分）解方程：2x2﹣2x﹣3=0．22．（9分）已知关于x的方程．（1）当k=﹣1时，该方程的根是_________；（2）当k≠﹣1时，该方程有两个不相等的实数根吗？并说明理由．23．（9分）（1997•安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，BD平分∠ABC．（1）图中有_________个等腰三角形；（2）求BC的长（用含a的代数式表示）．25．（13分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．（1）直接写出∠ECF的度数等于_________°；（2）求证：△ABD∽△CED；（3）若AB=12，AD=2CD，求BE的长．26．（13分）如图，已知一次函数的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为t（s），其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求线段AB的长；（2）当t为何值时，△ACD的面积等于△AOB面积的；（3）当t为何值时，△ACD是等腰三角形．

2012-2013学年福建省泉州市德化县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．1．（3分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．专题：计算题．分析：化简得到结果，即可做出判断．解答：解：A、=2，本选项不合题意；B、=5，本选项不合题意；C、=，本选项不合题意；D、是最简二次根式，符合题意，故选D点评：此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：根据合并同类项可对A、B进行判断；根据二次根式的乘法可对C进行判断；根据二次根式的除法可对D进行判断．解答：解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、===2，所以C选项正确；D、÷=4÷2=2，所以D选项错误．故选C．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．3．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1=0有一根是0，则m的值为（）A．m=﹣1或m=1B．m=﹣1C．m=1D．m=0考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．分析：把x=0代入方程得到一个关于m的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定m的值．解答：解：把x=0代入方程得：0+0+m2﹣1=0，解得：m=±1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，即m=1．故选C．点评：本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能理解一元二次方程的解的含义是解此题的关键．4．（3分）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2B．C．﹣4D．2考点：一元二次方程的解．分析：将x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到4a﹣2b+c，由4a﹣2b+c=0得到方程左右两边相等，即x=﹣2是方程的解．解答：解：将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故选A．点评：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠DD．∠C=∠AED考点：相似三角形的判定．专题：几何综合题．分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．解答：解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6．（3分）（2009•梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：利用△DAO与△DEA相似，对应边成比例即可求解．解答：解：∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE是公共角，∠DAO=∠DEA∴△DAO∽△DEA∴即∵AE=AD∴故选D．点评：本题的关键是利用相似三角形中的相似比，再利用中点和正方形的性质求得它们的比值．7．（3分）（2012•淮滨县模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．解答：解：如图：AB==，AC==，BC=2，A、∵DE==，DF==，EF=1，∴，∴△DEF∽△BAC，故A选项正确；B、∵MN==，MK==，NK=3，∴，=1，，∴△MNK与△ABC不相似，故B选项错误；C、∵PQ==2，PR==，QR=1，∴==，=，=，∴△PQR与△ABC不相似，故C选项错误；D、∵GH==，GL==，HL=2，∴=，=，=，∴△GHL与△ABC不相似，故D选项错误．故选：A．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．（4分）方程4x2=1的解是x=±．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：先把方程化为x2=a的形式，再运用直接开方法即可求解．解答：解：方程可化为：x2=，两边开平方得x=±，故答案为x=±．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解此题要熟悉各种方法的特点．直接开平方的特点：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．9．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣k）2=1﹣2k有实数根，则k的取值范围是k≤．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由于方程左边为完全平方式，则右边必须为非负数，即1﹣2k≥0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得1﹣2k≥0，解得k≤．故答案为k≤．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．（4分）（2009•太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是3200（1﹣x）2=2500．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．解答：解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2=2500，故答案为：3200（1﹣x）2=2500．点评：本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价可以列出方程．11．（4分）（2011•新疆）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥．考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．点评：本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（4分）（2014•平房区一模）计算：=．考点：二次根式的加减法．分析：先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．13．（4分）若与是同类二次根式，则a可以取值为2或（只需写出2个符合条件的不同a值）．考点：同类二次根式．专题：开放型．分析：根据同类二次根式的定义得出a可以取2、等数，此题答案不唯一，再如14，．解答：解：∵与是同类二次根式，∴当a取2时，2a﹣1=3，此时与是同类二次根式；当a取时，2a﹣1=12，此时与是同类二次根式；故答案为：2或．点评：本题考查了同类二次根式的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．14．（4分）（2002•湛江）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，若，则=．考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．解答：解：∵DE∥BC∴=．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．15．（4分）如图，要使△ABD∽△ACB，还需增添的条件是∠ABD=∠C（写一个即可）．考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：已知这两个三角形有一个公共角，所以只需添加另一组对应角相等即可．解答：解：∵∠A=∠A，∴只需添加∠ABD=∠C就可以判定△ABD∽△ACB．故答案是：∠ABD=∠C．点评：本题考查了相似三角形的判定．注意充分利用题中的“公共角”这一条件．16．（4分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为（2，）．考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，根据此题是线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案．解答：解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），∴AC的中点是（4，3），∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．点评：本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标是解题关键．17．（4分）（2010•连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=1﹣．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题．分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．解答：解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，∴△A1B1C的面积为1×．∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣；∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣=．…，∴第n个四边形的面积==．故+++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣．故答案为：，1﹣．点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答18．（9分）已知：，求的值．考点：比例的性质．分析：根据两內项之积等于两外项之积列式整理即可得解．解答：解：∵=，∴7x﹣7y=13y，∴7x=20y，∴=．点评：本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．19．（9分）计算：．考点：二次根式的混合运算；零指数幂．专题：计算题．分析：根据零指数幂的意义和二次根式的乘除法则得到原式=6﹣2+1﹣4，然后合并同类二次根式．解答：解：原式=6﹣2+1﹣4=1．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．20．（9分）解方程．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：方程两边同时除以2，然后直接开平方可求得3x﹣1=±，所以易求得x的值．解答：解：由原方程，得开平方，得，解得．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．21．（9分）解方程：2x2﹣2x﹣3=0．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答：解：这里a=2，b=﹣2，c=﹣3，∵△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）=28＞0，∴x=，∴x1=，x2=．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．（9分）已知关于x的方程．（1）当k=﹣1时，该方程的根是x1=x2=4；（2）当k≠﹣1时，该方程有两个不相等的实数根吗？并说明理由．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：（1）把k=﹣1代入方程得到x2﹣8x+16=0，然后利用直接开平方求解；（2）先计算出判别式的值得到△=（k+1）2，再根据k≠﹣1得到（k+1）2＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解答：解：（1）当k=﹣1时，方程化为x2﹣2x+4=0，整理得x2﹣8x+16=0，∴（x﹣4）2=0，∴x1=x2=4；故答案为x1=x2=4；（2）当k≠﹣1时，该方程有两个不相等的实数根．理由如下：△=（k﹣1）2﹣4××（﹣4k）=（k+1）2，∵k≠﹣1，即k+1≠0，∴（k+1）2＞0，即△＞0，∴，方程有两个不等实根．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．（9分）（1997•安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题；压轴题．分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．解答：解：设道路为x米宽，由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，整理得：x2﹣36x+35=0，解得：x=1，x=35，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m宽．点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，BD平分∠ABC．（1）图中有3个等腰三角形；（2）求BC的长（用含a的代数式表示）．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．分析：（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=72°；然后由角平分线的性质求得∠ABD=∠DBC=36°，则∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．所以根据等腰三角形的判定进行解题；（2）设BC=x．依题意得AD=BD=BC=x，CD=a﹣x．通过相似三角形△BCD∽△ABC的对应边成比例得到，把相关线段的长度代入即可求得x的值，即BC的长度．解答：解：（1）如图，∵△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．∴AD=BD，BD=BC，∴图中的等腰三角形是：△ABC，△ABD，△BCD．共有3个．（2）设BC=x．依题意得AD=BD=BC=x，CD=a﹣x．显然△BCD∽△ABC，∴，∴，即x2+ax﹣a2=0解得（舍去），故．故答案是：3．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．注意“三角形的内角和等于180°”是隐含在题干中的已知条件．25．（13分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．（1）直接写出∠ECF的度数等于60°；（2）求证：△ABD∽△CED；（3）若AB=12，AD=2CD，求BE的长．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质得出∠ACB=60°，推出∠ACF=120°，根据角平分线定义求出即可；（2）求出∠DCE=∠A，根据相似三角形的判定推出即可；（3）作BG⊥AC于G，求出AG，CG、DG，根据勾股定理求出BG、BD，根据相似求出DE，即可求出答案．解答：（1）解：∠ECF=60°，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACF=120°，∵CE是∠ACF的平分线，∴∠ECF=∠ACF=60°，故答案为：60．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE平分∠ACF，∴∠DCE=∠ECF=60°=∠A，∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD～△CED