充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义.5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．重点：充分与必要条件的概念及判断难点：已知充分、必要条件求参数阅读课本内容，自主完成下列内容。知识点一充分条件与必要条件1.1命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.开语句、疑问句、祈使句都不是命题.1.2命题的真假：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.判断下列是否为命题，判定命题的真假(1)若x,y是无理数，则x+y是无理数.(2)若x+y是有理数，则x,y都是有理数.(3)3≥3．(4)3能被2整除吗？【答案】（1）假（2）假（3）真（4）不是命题1.3命题的形式：可写成“若p，则q”“如果p，那么q”.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系由p可以推出q，记为：________由p不能推出q，记为：________条件关系p是q的____________p不是q的____________q是p的_____________q不是p的___________对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．（2）数学中的每一条_性质定理__都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．知识点二充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．()(2)p是q的必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立．()(3)p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系．()(4)若A∈B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．()2．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】1．(1)√(2)√(3)√(4)√2．A考点一充分条件与必要条件的判断角度1定义法例1“且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性:且，则，充分性成立;必要性:若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件.故选:A.【对点演练1】“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【对点演练2】设全集，在下列条件中，是的充要条件的有①；②③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D角度2集合法例2（2023·河南驻马店·高一校考阶段练习）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】若，则为假命题，所以“”是“”的不充分条件；若，则为真命题，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B【对点演练1】设集合，集合，那么“”是“”的（

）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【详解】∵集合，集合，∴由“”推不出“”，反之由“”推不出“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件.故选：D.【对点演练2】（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，方程即为，解得；当时，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B.【对点演练3】（多选）（2022·重庆巴蜀中学高二期末）已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到，且，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立.故选：AD.角度3递推法例3（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件；正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，因为是的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，所以是的充要条件；命题①正确，因为，，，所以，若，则，，，故，与矛盾，所以，所以是的充分不必要条件，命题②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.【对点演练1】若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的________条件.【答案】充分不必要【对点演练2】已知是的必要不充分条件，是的充分且必要条件，那么是成立的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分，必要条件的关系，即可判断选项.【详解】由条件可知，，所以，，所以是的充分不必要条件.故选：C判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含关系判断．(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．考点二充分、必要条件的选择例4（多选）（2023高一限时训练）“”的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设,选项对应的集合为,因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC【对点演练1】（2023·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（

）A．x＞0B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3D．x＜0【答案】A【对点演练2】（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】D考点三根据充分条件求参数取值范围例5（1）是否存在实数，使得“”是“或”的充分条件？（2）是否存在实数，使得“”是“或”的必要条件？（3）（2023·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，求实数的值.【详解】（1）欲使是或的充分条件，则只要或，即只需，所以.故存在实数，使得“”是“或”的充分条件；欲使是或的必要条件，则只要或，使得“”是“或”的必要条件.（3)解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.【对点演练1】已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围．【答案】不存在实数，使得是的充要条件【解析】解：因为是的充要条件，则，由，，知要使，则，无解，故不存在实数，使得是的充要条件．【对点演练2】（多选题）（2022山东烟台二中高一阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【详解】，则，．故选：CD．【对点演练3】（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，所以的范围是．【对点演练4】（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知集合或，．（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件．【解析】（1）的充要条件是，所以实数的取值范围是．(2)由(1)知,的充要条件是,则当时,是的一个充分但不必要条件;比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一)(3)求实数a的取值范围,使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合,故是它的一个真子集.如果时,未必有,但是时,必有,故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．考点四充要条件的证明例2．已知m，n∈R，证明:m4n4=2n2+1成立的充要条件是m2n2=1.【解析】①(必要性)∵m2n2=1，∴m2=n2+1，∴m4n4=(m2+n2)(m2n2)=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，∴m4n4=2n2+1成立;②(充分性)∵m4n4=2n2+1，∴m4=n4+2n2+1=，∴m2=n2+1，即m2n2=1，∴m2n2=1成立.综上，m4n4=2n2+1成立的充要条件是m2n2=1.1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．【对点演练1】求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.【解析】证明：（1）充分性：由得.即满足方程.是方程的一个根（2）必要性：是方程的一个根，将代入方程得.故是一元二次方程的一个根的充要条件是【对点演练2】设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件.【解析】解:因为关于x的方程有一个根为，所以代入得，下证明充要性.充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根是的充要条件为．一、单选题1.设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当时，，则成立，而当时，或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选：A2．集合，的关系如图所示，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据韦恩图判断集合间的包含关系，进而判断题设条件的充分、必要关系.由韦恩图知：A是B的真子集，∴是的充分不必要条件.故选：A3.（2023·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.4．已知，若是的必要而不充分条件，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据集合的包含关系判断可得出合适的选项.若是的必要而不充分条件，只需找一个集合，使是其真子集，因为是的一个真子集，故选：C．5．设P､Q是非空集合，命题甲为：P∩Q=P∪Q；命题乙为：P⊆Q，那么甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q，反之不成立，即可得结论.解：∵P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q，反之P⫋Q时，P∩Q≠P∪Q，∴甲是乙的充分不必要条件，故选：A.6．若命题：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；解：由得或，即或，所以由能够得到，由得不到，即推不出，推得出，所以是的必要不充分条件；故选：B7．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充要条件D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以判断是的子集，从而得出是的充分条件.解：因为，非空集合，满足，所以是的子集，即，所以是的充分条件，故选：A.8．已知a>0，设p：a≤x≤3a；q：1<x<6．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2}C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤2}【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义求得参数取值范围即可.因为p是q的充分不必要条件，所以解得0<a<1，所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}．故选：C多选题9.9．下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：A：∵a＜1⇒a≤1，而当a≤1时，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，B：∵p：A∩B＝A，∴A⊆B，∵q：A∪B＝B，∴A⊆B，∴p是q的充要条件，∴B错误，C：∵两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，D：当x＝1，y＝0时，则x2+y2＝1，反之，当x2+y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．10．已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到，且，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.由题意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立.故选：AD.11．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.下列命题中正确的是（

）A．是的充要条件B．是的充分条件而不是必要条件C．是的必要条件而不是充分条件D．是的必要条件而不是充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.将四个条件写成：，且不能推出；；；，所以，所以，故正确；不能推出，故B正确；，又，故是的充要条件，故C错误；由，可得，由不能推出，可得不能推出，故D正确.故选：ABD12．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正实数根的充要条件是C．方程无实数根的充要条件是D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】由根与系数的关系可得每个选项的等价条件，即可得的取值范围，进而判断正误.解：对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；对B，若方程有两个正实数根，，即解得：，故B正确；对C，方程无实数根，即，解得：，方程无实数根的充要条件是，故C错误；对D，当时，方程为，无实数根，故D错误.故答案为：AB.填空题13．（2023·甘肃兰州·高一校考开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的