江苏省扬州市田家炳实验中学高三数学一轮复习学案函数及导数第6课导数的运算

第6课导数的基本运算教学目标1、能根据导数定义，求函数2、熟记基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数。二、知识梳理22．若。，则【教学建议】本组题目旨在复习基本初等函数的求导公式和函数的和、差、积、商的求导法则。需要学生熟练掌握，教学时可以当堂让学生进行默写。诊断练习诊断练习点评：题1、则。【分析与点评】几个函数的乘积的导数的运算法则是什么？【变式1】函数的导数是。【变式2】函数的导数是。【变式3】若函数。题2、函数f(x)＝(sinx)′＋cosx的值域是________．答案：[－2，2]【分析与点评】本题考查的是基本函数的导数，求导的法则，简单三角函数的值域，属于小综合题。但难度不大。【变式1】已知函数。【变式2】已知函数。题3、若函数的导函数是。【分析与点评】求两个函数的商的导数的运算法则是什么？要求学生能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．题4、曲线在点(1,3)处的切线的倾斜角为。【分析与点评】函数在某点处的切线斜率的求法。要点归纳要了解导数的四则运算法则，牢记基本初等函数的导数公式。例1．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．【教学处理】可让四名学生板演，每人一题，教师点评【引导分析与精讲建议】这组题目属于基本初等函数求导公式在求导法则下的直接运用，属于基本题。教师可以根据学生板演的具体情况，在学生犯错的地方点评和巩固．其中第（4）小题，需将表达式整理为，再求导．例2．已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)平行于直线4x－y－2＝0.(3)垂直于直线x＋8y－3＝0.答案：设切点坐标为(x0，y0)，由f′(x)＝4x得，k＝f′(x0)＝4x0(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，∴切点坐标为(eq\f(1,4)，eq\f(9,8))．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1，3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，k·(－eq\f(1,8))＝－1即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2，9)．【教学处理】让学生回顾函数切线的方法？明确关键是求切点。变式：已知函数(),.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值注：体会一下公切线的含义。例3．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为．（1）确定，的值；（2）当时，求过点（0，c）且与曲线相切的直线方程．【教学处理】指导学生认真审题，独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：（1）条件“曲线在点处的切线方程为”如何转化?这个条件可得到两个等量关系：①切点处的导数值为0，②切点既在切线上，也在曲线上，所以切点P（0，1）在曲线上，切点坐标适合曲线的方程。（2）求过某点的曲线的切线方程的基本步骤是什么？因为求的是过点（0，1）的曲线的切线方程，所以点（0，1）不一定是切点，故设切点坐标为，那么切线方程可表示为：，将点（0，1）代入切线方程，化简后求出m的值即可。提醒学生解方程注意变形的等价性，防止失去m=0的根。【变式】对于例3中的函数，若过点（0，2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．【点评】可以仿第2问，写出切线的方程。怎么才能使此方程有三个不同的实根？代数方法麻烦时可以将方程的根的个数问题转化为函数图象与x轴的交点个数问题。怎么判断函数的图象与x轴的交点个数？利用导数，判断函数的单调性，极值，作出函数的草图，结合函数图象，判断图象与x轴的交点个数。五、解题反思1、理解导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，熟练掌握基本初等函数求导公式和函数四则运算求导法则。2、导数f′(x0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．利用导数研究曲线的切线问题，一定要看清求的是“在某点”还是“过某点”的切线3、与的关系是表示在处的导数，表示函数在某给定区间上的导函数。六、课后作业:1.(2015·天津文)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．答案：3解析：因为f′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3.2.(2015·课标Ⅱ文)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．答案：8解析：由y′＝1＋eq\f(1,x)可得曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋(a＋2)x联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0a＝8.3.(2015·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，记曲线y＝2x－eq\f(m,x)(m∈R，m≠，则m的值为________．答案：－3或－4解析：y＝2x－eq\f(m,x)(m∈R，m≠－2)在x＝1处的切线斜率为m＋2，切点为(1，2－m),切线方程为(m＋2)x－y－2m＝0，在两坐标轴上的截距为eq\f(2m,m＋2)－2m＝12，化简得m2＋7m＋12＝0，m的值为－3或－4.4.(1)已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，求曲线过点P(2，4)的切线方程；(2)求抛物线y＝x2上点到直线x－y－2＝0的最短距离．解：(1)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率k＝xeq\o\al(2,0)，切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(2)由题意得，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0距离最短，设切点为(x0，xeq\o\al(2,0))，则切线的斜率为2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切点到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).5.(2015·盐城三模)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(m（x＋n）,x＋1)(m＞0)．(1)当m＝1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处的切线互相垂直，求n的值；(2)若函数y＝f(x)－g(x)在定义域内不单调，求m－n的取值范围．解：(1)当m＝1时，g′(x)＝eq\f(1－n,（x＋1）2)，∴y＝g(x)在x＝1处的切线斜率k＝eq\f(1－n,4).由f′(x)＝eq\f(1,x)，∴y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝1，∴eq\f(1－n,4)·1＝－1,∴n＝5.(2)易知函数y＝f(x)－g(x)的定义域为(0，＋∞)，又y′＝f′(x)－g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(m（1－n）,（x＋1）2)＝eq\f(x2＋[2－m（1－n）]