2022年高考数学二轮复习常考热点(十一)离心率

1．A．2．A．C.3.A.C.4.热点（十一）离心率（椭圆离心率）若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）321B.5C.5D.5x2（双曲线离心率）已知实数4,m,9构成一个等比数列，贝9圆锥曲线話+^2=1的离心率为（）\.'306谭或曲（双曲线渐近线）双曲线畫一b2=1（a>0,b>0）的离心率为迈，则其渐近线方程为（）y=±''2xB.y=±V3x23y=±2xD.y=±?x（椭圆的离心率）设椭圆E的两焦点分别为行，F2，以F1为圆心，|F]F21为半径的圆与E交于P,Q两点，若APFF?为直角三角形，则E的离心率为（）A.i'2—1B."[1C¥D.,'2+1[2021・江西省七校联考（一）]（双曲线的离心率）双曲线C：養—2=1（a>0,b>0）的渐近线与圆x2+y2一2x+5=0相切，则双曲线C的离心率为（A.乎B.迈C.D.（椭圆性质）已知F],F2分别为椭圆02+b2=1（a>b>0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q,若PF]丄PQ,且|PF1|=|PQ|,贝9椭圆的离心率为（）A.2—迈B.百—迈C.迈—1D.召—书（双曲线离心率的取值范围）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2-b=1（b>0）的左、右焦点，点O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|,tanZPF2F1^4,则双曲线C的离心率的取值范围为（）Al1，年］B.［乎'+8(17""17,\C.I1，勺D.［g，+T[2021・石家庄教学质量检测（一）]（双曲线离心率）已知F1，F2分别为双曲线C：a2—=1（a>0,b>0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且ZF]AF2=60。，若ZF]AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）

D．■■142x2[2021D．■■142x2[2021・大庆实验中学调研]（椭圆离心率的取值范围）已知椭圆C：02=l（a>b>0）,过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F,若ZFAB=a,a^，则此椭圆离心率的取值B•岸日d.B•岸日d.[¥，JA.[爭，V3—1C.（o,爭][2021・昆明市“三诊一模”教学质量检测]（椭圆离心率）已知行迟分别是椭圆E：：=1（a>b>0）的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若MF]=3NF2，则椭圆E的离心率为（）1126A.3B.2C.寸D.丁[2021・福建龙岩调研]（双曲线离心率的取值范围）设双曲线C：02—2=l（a>°，b>0）的左、右焦点分别为件，F2，|F]F2|=2c,过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为（c,喲，7且满足|F2Q|>|F2A|,若双曲线C的右支上存在点P使得|PF]|+|PQ|<6|F]F2|成立，贝9双曲线C的离心率的取值范围是（）A.C.B.A.C.B.D.1，33,（综合运用）设双曲线02—=1（a>0,b>0）的右焦点为F,过点F作x轴的垂线l交两条渐近线于2A,B两点，l与双曲线的一个交点为P.设O为坐标原点，若OP=mOA+nOB（m,n^R），且mn=§,则该双曲线的离心率为（）A座B也C矩D8a•2•5•4^d•9.（双曲线离心率）已知M为双曲线C：養—2=1（a>0，b>0）的右支上一点，A,F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M,ZMF4=60°,则C的离心率为..（椭圆离心率）已知点P（m,4）是椭圆養+b|=1（a>b>0）上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，3若APFF2的内切圆的半径为2，则此椭圆的离心率为..[2021・长春市高三质量监测（三）]（双曲线离心率）已知双曲线盍—2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分

别为F1,F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P,O为坐标原点，且tanZPF2O=3，则双曲线的离心率为16.(椭圆、双曲线离心率综合)已知椭圆M：a+b=l(a>b>0)，双曲线N：盖=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.热点(十一)离心率B由题意得2b=a+c,所以4(a2—c2)=a2+c2+2ac,3a2—2ac—5c2=0,两边同除以a2得到3—32e—5e2=0，因为0<e<1,所以e=5.故选B.C由已知得m=±6,当m=6时，圆锥曲线是椭圆，a=\'6,b=1,c=''5,离心率e=C=*°;a6当m=—6时，圆锥曲线是双曲线，a=1,b=\'6,c=p7，离心率e=：=\'7，故选C.A双曲线養—=1的渐近线方程为bx±ay=0.又•.•离心率a=严=西，••a2+b2=3a2,..b="j'2a.•:渐近线方程为迈ax±ay=0,即y=±,'2x.故选A.又|PF1|=|F1F2|=2c,所以|PF2|=2辺c,所以|PF]|+|PF2|=2c+2迈c=2a,所以椭圆E的离心率e=；'2—1.故选A.C不妨取双曲线C：X—b-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=~x,即bx—ay=0,化圆x

a2b2a+y2—2x+*=0的方程为标准方程,得(x—1)2+y+y2—2x+*=0的方程为标准方程,|b|=2/5■\.'a2+b2|b|=2/5■\.'a2+b25选C.即血+b2=5，即—c2=5，所以c2=5a2,所以双曲线C的离心率e=a=\'5，故D设|PF]|=|PQ|=m(m>0),则|PF2|=2a—m,|QF2|=2m—2a,|QF1|=4a—2m.由题意知厶PQF1为

等腰直角三角形，所以|QF]|=V2|PF1|,故m=4a—2迈a.因为|PFl|2+|PF2|2=|FD设|PF]|=|PQ|=m(m>0),则|PF2|=2a—m,|QF2|=2m—2a,|QF1|=4a—2m.由题意知厶PQF1为A•.•|F1F2|=2|OP|,・・・F1P丄F2P.记|PF]|=x,|PF2|=y,则x2+y2=(2c)2=4c2.又x—y=2a，・2xy=4c2—4a2，・(x+y)2=4c2+4c2—4a2=8c2—4a2,••・x+y=2\；2c2—a2.\x—y=2a，\x=l2c2—a2+a,联立]，解得]lx+y=2斗2c2—a2ly=\J2c2—a2—a.•••tan"MM刊,17••・*2c2—a2+a三4&2c2—a2—a)，解得e2<g.又e>l,.°.IveW*sina+cossina+cosa(.n2sin(a十48.B不妨设点A在第一象限，OF2的中点为M则MJ,Oj,3TOC\o"1-5"\h\z|AF|FM\2c由角平分线分线段成比例得，開=誚=F=3,即AF]|=3|AF2|,22z-»2c由双曲线的定义得IAFJ—|AF2|=2a，所以|AFx|=3a,|AF2|=a.在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2—2|AF1|・|AF2|cos60。，即4c2=9a2+a2—2X3aXaX*,7J7即4c2=7a2，所以e2=4，又e>l,所以e=?，故选B.=2a.所以离心率ce=—所以离心率ce=—a1因为n3_n7n

L3,12_,2sin(aW.故选B.，迈，所以eWC不妨设M（0,b），F1（—c，0），F2（c，0），N（x，y），因为MF]=3NF2，所以（—c，—b）=3（c—x，—y），厂_4<X=3c161迈所以b，代入椭圆方程得才e2+9=1，得，故选C.ly=3C将x=c代入双曲线的方程可得y=±b益一1=±乎，由\FQ\>\F2A\，可得3>乎，则3a2>2b2=2（c2—a2），所以离心率e=a<浮•①77又存在点F使得『F]\+『Q\<6\F]F2\成立，所以由双曲线的定义可得存在点F,使得2a+『F2\+『Q\<37c成立，即（2a+『F2\+『Q\）mm<3c.373当F2,P，Q共线且P在第一象限时，\FF2\+『Q\取得最小值，最小值为\F2Q\=3a，所以7c>2a+2a，3-2>3-2>

c-a由e>1及①②可得，e由e>1及①②可得，e的取值范围是（I，号0）•故选°，由OF=mOA+nOB,得(c，a=(^c^所以m+n=l,mc—cn=b.又mn=,(—nbc+(nc，=CO1__Q79，解得m=3，n=3，c=3b.因为a=pc2_b2=\>'9bi—bi=2\!2b，所以双曲线的离心率e=^=天?|b=34|.故选c.l3．答案：4解析：如图所示，设双曲线C的左焦点为F],连接MF,由题意知IMF\=a+c,\MF^=3a+c,在中，由余弦定理得\切\2=042+陀\2—2吋则\心60。，所以（3a+c）2=（2c）i+（a+c）2—2X2c（a+c）・|,

c整理得4a2+3ac—c2=0,因为e=：，所以e2—3e—4=0,因为e>1,所以e=4.3答案：531解析：因为的内切圆的半径为2，所以的面积S=2(『FJ+Bq+F/zM，其中r为313△PF\F2的内切圆的半径，即S=(a+c)r=2(a+c)，又△『F1F2的面积S=2•|F1F2|•4=4c，所以2(a+c)c3=4c，所以e=a=5.答案：寸代解析：由题意可知，焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，在Rt^OPF2中，|PF2l=b,|OF2|=c,则|OP|,，「—|OP|a1十*x/a2+b2=a，又tanZPF2O=jP/^=b=3，所以e=a—=\1°•n=tan6°°=V3，mn2双曲线N的离心率e1满足e2=1+^=4，Ae1=2.(y=i，3x，,a2b2由Ix2^y2=1得x2=3a+2.Ia2十b2，设D点的横坐标为x,由正六边形的性质得|ED|=2x=c,.•.4x2=c2.4a2b2Sa?+b2=a2—b2,得3a4—6a2b2—b4=°,•••3-穿-傷$=°，解得省=2曲-3.椭圆M的离心率e2=1-a2=4一2\'3,・.e2=J3—1.n方法二•・