等差数列前n项和公式课件高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列前n项和

第2课时第四章等差数列的前n项和公式学习目标1.会求等差数列前n项和的最值.2.理解并应用等差数列前n项和的性质.1.等差数列的前n项和公式求和公式Sn＝___________Sn＝_______________复习回顾2.数学思想：

化归思想、函数与方程思想3.求和方法：倒序相加法

等差数列的前n项和公式

有什么样的函数特点？注意：公差的符号决定了该二次函数的开口方向.新课探究一＝An2＋Bn(A，B∈R).当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.

在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.例1例题讲解方法一

因为S8＝S18，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.所以当n＝13时，Sn有最大值为169.借助二次函数图像方法二

同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因为a1＝25>0，又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.想一想，还有其他方法吗借助通项何时变号方法三

因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值为169.方法四

设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，所以当n＝13时，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值为169.根据结构设前n项和新知探究二你知道等差数列前n项和何时有最值吗？(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定.(2)若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最____值；当d<0时，Sn有最____值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.大小小大已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30，若Sn≥8n＋λ对任意的正整数n成立，求实数λ的取值范围.试一试解：设等差数列{an}的公差为d，

由已知a2＝a1＋d＝4，由题意Sn＝n2＋n≥8n＋λ，即λ≤n2－7n.令f(n)＝n2－7n，其图象为开口向上的抛物线，因为n∈N*，所以当n＝3或4时，f(n)取得最小值－12，所以实数λ的取值范围是(－∞，－12].例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝－16，S6＝－12.①求{an}的通项公式an；②求数列{|an|}的前n项和Tn.例题讲解解:(1)设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d，∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*.当an≥0时⇒2n－9≥0⇒n≥5；当an<0时⇒2n－9<0⇒n≤4，当0<n≤4，n∈N*时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2，当n≥5时，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an)＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16)＝n2－8n＋32.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，S3n＝3Sn＋3n2d，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，是一个公差为n2d的等差数列.知识梳理1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).例3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.例3方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10＝100，S100＝10，方法二

∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋

＝S100＝10，解得d＝－22，所以S110＝－110.方法四直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.1.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于A.12

B.18

C.24

D.30根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.√试一试2.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.试一试方法一