【19份】高中数学新人教版选修2-2课件(共三章)

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章§1.1变化率与导数1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率答案平均变化率1.平均变化率的概念设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子

表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的

，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝

.于是，平均变化率可以表示为

.f(x2)－f(x1)答案x2－x12.求平均变化率

求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx＝

；(2)求函数值的增量Δy＝

；(3)求平均变化率

＝

＝

.f(x2)－f(x1)思考

(1)如何正确理解Δx，Δy?答案答案

Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零.(2)平均变化率的几何意义是什么？答案

如图所示：y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，

越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y＝f(x)图象上有两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，答案知识点二瞬时速度与瞬时变化率答案瞬时速度把物体在某一时刻的速度称为

.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝

，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度

，即

＝

.s(t0＋Δt)－s(t0)答案瞬时变化率物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率

在Δt→0时的极限，即

.瞬时速度就是位移函数对时间的

.思考

(1)瞬时变化率的实质是什么？答案

其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.答案

①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率

趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案知识点三导数的概念答案导数思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？答案

求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？返回答案题型探究重点突破题型一求平均变化率解析答案反思与感悟

解当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为反思与感悟

解析答案2Δx＋4解析因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，解析答案

题型二实际问题中的瞬时速度解析答案例2

一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；即物体的初速度为3m/s.(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反.解析答案(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.解析答案反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt趋近于0，指时间间隔Δt越来越小，但不能为0，Δt，Δs在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.反思与感悟

解析答案解析答案(2)求t＝3秒时的瞬时速度.所以t＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.题型三函数在某点处的导数解析答案反思与感悟

从而y′|x＝1＝2.求函数在x＝x0处的导数的步骤：(1)求函数值的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；反思与感悟解析答案

解析答案因对导数的概念理解不到位致误例4

设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值.返回易错易混防范措施错因分析

在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式.如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h).解析答案防范措施防范措施自变量的改变量Δx的值为变后量与变前量之差.返回防范措施当堂检测123451.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(

)A.Δx＞0 B.Δx＜0C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数

C解析答案12345A.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度B.t时刻物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率B解析答案12345

解析答案12345解析答案12345解析答案

12345解析答案12345∴物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v(t)＝v0－gt，故物体在t0时刻的瞬时加速度为－g.课堂小结返回1.3.2函数的极值与导数第一章§1.3导数在研究函数中的应用1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数极值的概念答案f′(x)＜01.极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)＞0答案f′(x)＞02.极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧

，右侧

，则把点b叫做函数

的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

、

统称为极值点，

和

统称为极值.f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？答案答案可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同.如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？答案不一定.知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤答案极大值1.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是

；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是

.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程

的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.极小值f′(x)＝0思考可导函数f(x)若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗？答案不能.返回答案题型探究重点突破题型一求函数的极值解析答案反思与感悟

解析答案反思与感悟解由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

反思与感悟

反思与感悟求可导函数

f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数

f′(x)；(2)求方程

f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测

f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么

f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么

f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么

f(x)在这个根处无极值.跟踪训练1

求下列函数的极值.(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；解析答案解函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y

极大值57

极小值－7

从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.解析答案

解函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.题型二利用函数极值确定参数的取值范围(或值)解析答案例2

已知函数

f(x)＝6lnx－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为

f(x)的一个极值点.(1)求a的值；

(2)求函数

f(x)的单调区间；解函数

f(x)的定义域为(0，＋∞).由(1)知

f(x)＝6lnx＋x2－8x＋b.解析答案由

f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由

f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).∴函数

f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).(3)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.解析答案反思与感悟解由(2)可知函数

f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增.且当x＝1和x＝3时，f′(x)＝0.∴f(x)的极大值为

f(1)＝6ln1＋1－8＋b＝b－7，f(x)的极小值为

f(3)＝6ln3＋9－24＋b＝6ln3＋b－15.∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0，∴要使

f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，∴b的取值范围是7＜b＜15－6ln3.解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用.反思与感悟

解析答案解因为a＞0，所以“f(x)＝

x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”.由f′(x)－9x＝0(即ax2＋(2b－9)x＋c＝0)的两实数根分别为1,4，所以对于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9).不等式ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立易验证a＝1与a＝9均满足题意，故a的取值范围是[1,9].题型三函数极值的综合应用解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟

反思与感悟则函数y＝g(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.即a＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.所以实数a的取值范围为(2，＋∞).求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点.反思与感悟解析答案跟踪训练3

已知函数

f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)求函数

f(x)的单调递增区间；

解析答案(2)若对任意a∈[3,4]，函数

f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.解析答案

所以实数b的取值范围为(－4,0).解析答案因忽视对所得参数进行检验而致误例4

若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b的值.返回防范措施易错易混错解

由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，解析答案错因分析

由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件.因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.防范措施正解由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故

f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，解析答案防范措施故a，b的值分别为4，－11.防范措施根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍.返回防范措施当堂检测123451.已知函数

f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(

)A.(2,3) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)B解析答案解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由

f′(x)＞0得x＜2或x＞3.123452.下列关于函数的极值的说法正确的是(

)A.导数值为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若

f(x)在(a，b)内有极值，那么

f(x)在(a，b)内不是单调函数D解析答案解析由极值的概念可知只有D正确.123453.函数

f(x)的定义域为R，导函数

f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析答案C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则

f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则

f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.12345解析答案4.已知

f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(

)A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6C.a＜－1或a＞2 D.a＜－3或a＞6D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为

f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.12345解析答案5.设函数

f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若

f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为_____.9

课堂小结返回1.求函数极值的基本步骤：(1)求函数定义域；(2)求

f′(x)；(3)解

f′(x)＝0；(4)列表(f′(x)，f(x)随x的变化情况)；(5)下结论.2.函数的极值的应用：(1)确定参数的值，一般用待定系数法；(2)判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况.1.3.3函数的最大(小)值与导数第一章§1.3导数在研究函数中的应用1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠如果在函数

f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有

，那么称

f(x0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数

f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有

，那么称

f(x0)为函数在定义域上的最小值.知识梳理自主学习知识点一函数最值的概念答案f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)答案思考函数的极值与最值的区别是什么？答案函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数

f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处

f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定

f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.1.求函数

y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：(1)求函数

y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数

y＝f(x)的各极值与端点处的函数值

f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是

，最小的一个是

.2.函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数

f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数

f(x)在区间I上的最大(小)值.知识点二求函数的最值答案最大值最小值

答案没有.(2)函数

f(x)＝ln

x在[1,2]上有最值吗？答案有最大值ln2，最小值0.返回答案题型探究重点突破题型一求函数的最值解析答案例1

求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；解f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及

f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)

＋0－0＋0－

f(x)－60

极大值4

极小值3

极大值4

－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.解析答案反思与感悟(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数

f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数

f(x)不一定有最大值与最小值.跟踪训练1

设函数

f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数

f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；解析答案解∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为

，因此

f′(1)＝3a＋b＝－6，故a＝2，b＝－12，c＝0.(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.x(－∞，－

)

－

(－

，

)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

解析答案题型二含参数的函数的最值问题解析答案例2

已知a是实数，函数

f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.反思与感悟解析答案

反思与感悟反思与感悟由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.反思与感悟解析答案跟踪训练2

a为常数，求函数

f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解析答案

x0(0，

)(，1)1f′(x)

＋0－

f(x)0

2a

3a－1

题型三函数最值问题的综合应用解析答案

解析答案解对

f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导，得

f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1).令

f′(x)＝0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

解析答案反思与感悟(2)若对x∈[－1,2]，不等式

f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围.而

f(2)＝2＋c，则

f(2)＝2＋c为最大值.要使

f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解.反思与感悟解析答案跟踪训练3

设函数

f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有

f(x)＜c2成立，求c的取值范围；解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值

f(1)＝5＋8c.又

f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为

f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有

f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).解析答案(2)若对任意的x∈(0,3)，都有

f(x)＜c2成立，求c的取值范围.解由(1)知

f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).解析答案求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误例4

求函数

f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值.返回易错易混防范措施

解析答案∴函数

f(x)在x＝0处取得最大值f(0)＝1，错因分析求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误.防范措施

∴函数

f(x)在x＝0处取得极大值

f(0)＝1，又

f(－1)＝－2，f(2)＝1，∴函数

f(x)的最大值是1，最小值是－2.防范措施若连续函数y＝f(x)在[a，b]为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a，b]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.返回防范措施当堂检测123451.函数

y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(

)A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能

解析据题

f(x)为常数函数，故

f′(x)＝0.A解析答案123452.函数

f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(

)A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，－19解析答案12345答案C解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以

f(x)在x＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.123453.函数

f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(

)A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析答案D解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以

f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.12345解析答案A. B.C. D.A解析f′(x)＝ex(sin

x＋cos

x).12345解析答案5.已知

f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2,2]上有最小值3，那么f(x)在[－2,2]上的最大值是____.43解析令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，x＝－2，0,2对应的

f(x)的值分别为a－40，a，a－8.因为a－40＜a－8＜a，所以a－40为最小值，a为最大值，则a－40＝3，a＝43，故

f(x)在[－2,2]上的最大值是43.课堂小结返回1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：①对函数进行准确求导；②研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：①f(x)≥m恒成立，只需f(x)min≥m成立即可，也可转化为h(x)＝f(x)－m，这样就是求h(x)min≥0的问题.②若对某区间D上恒有f(x)≥g(x)成立，可转化为h(x)＝f(x)－g(x)，求h(x)min≥0的问题.§1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一利用导数解决生活中的优化问题的步骤1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系

y＝f(x)；2.求函数的导数

f′(x)，解方程

f′(x)＝0；3.比较函数在区间端点和在

f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.答案思考(1)什么是优化问题？答案在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)优化问题的常见类型有哪些？答案费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等.知识点二解决优化问题的基本思路思考解决生活中优化问题应注意什么？答案(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式；(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域；(3)在实际问题中，由

f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)；(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.返回答案题型探究重点突破题型一利润最大问题解析答案例1

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数；解若每件商品单价降低x元，则一个星期多卖的商品数为kx2件.由已知条件得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案反思与感悟(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072

极小值

极大值

0∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴30－12＝18(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大.反思与感悟利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.

解析答案解依题意，知每月生产x吨产品时的利润为

题型二面积、容积最值问题解析答案例2

已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大.反思与感悟解设矩形的另一边长为x，半圆弧长为πr，∴πr＋2r＋2x＝10，∴S′＝10－(π＋4)r，解析答案反思与感悟反思与感悟在解决面积、体积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或体积表示为关于变量的函数，结合使实际问题有意义的变量的范围，利用导数求函数的最值.反思与感悟解析答案跟踪训练2

如图，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3m，|AD|＝2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积；(3)若AN的长度不少于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解析答案解设AN的长为x

m(x＞2)，∵x＞2，∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，

解析答案(2)设S矩形AMPN＝y，即当AN的长度为4m时，S矩形AMPN取得最小值24m2.即当AN的长度为6m时，S矩形AMPN取得最小值27m2.题型三成本最省问题解析答案例3

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b＞0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

解析答案反思与感悟(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解析答案反思与感悟解由题意，s、a、b、v均为正数.反思与感悟此时y′＜0，即y在(0，c]上为减函数.所以当v＝c时，y最小.综上可知，为使全程运输成本y最小，选取合适的量做自变量，并根据实际确定其取值范围，正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题关键.反思与感悟解析答案跟踪训练3

工厂A到铁路的垂直距离为20km，垂足为B，铁路线上距离B处100km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC段上的D处向工厂修一条公路，使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省，已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5，则D点应选在何处？解析答案

∴x＝15.由实际问题可知，运输费用一定有最小值，而此函数有唯一极值点，故x＝15时取最小值，故D点在距B点15km处最好.解析答案因没有注意问题的实际意义而出错易错点例4

某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b＞a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？返回防范措施易错易混错解

设船在静水中的航行速度为xkm/h，全程的燃料费用为y元，解析答案令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)，所以f(2a)＝4ask，即当x＝2a时，ymin＝4ask.故当船在静水中的航行速度为2akm/h时，燃料费用最省.错因分析这个实际问题的定义域为(a，b]，而x＝2a为函数的极值点，是否在(a，b]内不确定，所以需要分类讨论，否则会出现错误.防范措施正解设船在静水中的航行速度为xkm/h，全程的燃料费用为y元，令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍).(1)当2a≤b时，若x∈(a,2a)，y′＜0，f(x)为减函数，若x∈(2a，b]时，y′＞0，f(x)为增函数，所以当x＝2a时，ymin＝4ask.解析答案防范措施当x∈(a，b]时，y′＜0，所以f(x)在(a，b]上是减函数，综上可知，若b＜2a，则当船在静水中的速度为bkm/h时,燃料费用最省；若b≥2a，则当船在静水中的速度为2akm/h时，燃料费用最省.防范措施在运用导数解决实际问题的过程中，正确建立数学模型，找到实际问题中函数定义域的取值范围.返回防范措施当堂检测123451.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为(

) 解析答案解析设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，

答案B123452.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(

)解析答案12345答案D123453.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为______元时可获得最大收入.解析答案1800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1600－100x，∴当x＝16时，f(x)取最大值，故把月租金定为1800元时收入最大.12345解析答案123454.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝_____吨.30解析设总运费与总存储费之和为y万元，解析答案5.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为____时最省材料.123454解析设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，令S′(x)＝0，解得x＝8，课堂小结返回1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定答案.2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂指对模型、三角函数模型等.3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要结合实际问题的意义确定定义域.§1.5

定积分的概念第一章导数及其应用1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程答案y＝f(x)1.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线

所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).答案小曲边梯形(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些

，对每个

“以直代曲”,即用

的面积近似代替

的面积，得到每个小曲边梯形面积的

，对这些近似值

，就得到曲边梯形面积的

(如图②所示).小曲边梯形小曲边梯形矩形近似值求和近似值(3)求曲边梯形面积的步骤：①

，②

，③

，④

.2.求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用

，

，

，

的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.答案分割近似代替求和取极限分割近似代替求和取极限思考(1)如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.答案

答案

(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答案为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小.知识点二定积分的概念答案定积分答案积分下限其中a与b分别叫做

与

，区间[a，b]叫做

，函数f(x)叫做

，x叫做

，f(x)dx叫做

.积分上限积分区间被积函数积分变量被积式思考(1)如何理解定积分？答案定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，答案答案①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1；

答案知识点三定积分的几何意义与性质1.定积分的几何意义由直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：答案答案答案返回答案题型探究重点突破题型一求图形的面积问题

解析答案反思与感悟例1

用定积分的定义求曲线y＝x3＋1与x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积.解析答案反思与感悟过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.解析答案反思与感悟③求和：Sn＝ΔS1＋ΔS2＋…＋ΔSn反思与感悟反思与感悟对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用.跟踪训练1

求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积.解析答案解析答案解(1)分割：将曲边梯形分成n个小曲边梯形，解析答案过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积.为了计算方便取xi为小区间的左端点，解析答案(3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值.即(4)取极限：当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S，因此，当n→∞，即Δx→0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积.题型二求汽车行驶的路程解析答案例2

汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(v的单位：km/h，t的单位：h)，那么它在1≤t≤2这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？反思与感悟解将区间[1,2]等分成n个小区间，解析答案反思与感悟反思与感悟利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.反思与感悟解析答案跟踪训练2

一物体自200m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g＝9.8m/s2)解析答案解自由落体的下落速度为v(t)＝gt.以左端点函数值作为该区间的速度.故该物体在下落后第3s至第6s之间的距离是132.3m.题型三由定积分的几何意义求定积分解析答案例3

利用定积分的几何意义，求：解析答案反思与感悟解在坐标平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线.x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示.利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取.反思与感悟解析答案跟踪训练3

利用定积分的几何意义计算.解如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A减去B.解析答案解如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，解析答案因对定积分的几何意义理解不准确致误例4

如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为(

)返回易错易混防范措施错解

错选A或B或C.错因分析

错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.若在[a，c]上，f

(x)≤0，在[c，b]上，f

(x)≥0，故选D.防范措施定积分的几何意义是在x轴上半部计算的面积取正值，在x轴下半部计算的面积取负值.返回防范措施当堂检测12341.把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为(

)解析区间[1,3]的长度为2，B解析答案1234A.与f

(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B.与f

(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C.与f

(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D.与f

(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关A答案1234

解析答案1.0212344.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：><答案课堂小结1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).返回3.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.§1.6

微积分基本定理第一章导数及