小学数学教材中的数学思想方法(人教版为主)

今天是2013年8月19日

真高兴，又与大家见面

“傅里叶先生认为，数学的主要目的是服务人类、解释自然现象；但像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是

为了人类心智的荣耀，

因此，一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。”

------CGJ雅可比

1830年7月2日致勒让德的信

在数学中，教师的师资培训中最难的部分是获得扎实的数学知识。（伍洪熙世界著名几何学家，美国加州伯克利大学教授，美国国家数学委员会委员，美籍华人）小学数学教材中的

数学思想方法

王凯成

2012.10.11引子：数学思想方法的重要性一、什么是数学思想方法？二、小学数学中都体现了哪些

数学思想方法？三、教学中如何渗透数学思想方法？内容提纲数学教育本质上是一种素质教育，使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且领会到数学的精神实质和思想方法，这应该是数学教育努力追求的目标，也是衡量数学教学的成效与优劣的最根本的依据。

中国科学院院士李大潜

日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”

新课标在第一部分“前言”的“课程基本理念”中指出：

课程内容既要反映社会的需要、数学的特点，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和数学思想方法。*引自《数学课程标准》P2教师教学应该……，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的数学活动经验。*引自《数学课程标准》P3

新课标在总体目标中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”*引自《数学课程标准》P8第二部分课程目标一、总体目标建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。*引自《数学课程标准》P9二、学段目标……第二学段（4-6年级）数学思考1．初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。2．进一步认识到数据中蕴含着信息，发展数据分析观念；感受随机现象。3．在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。4.会独立思考，体会一些数学的基本思想。*引自《数学课程标准》P14

新课标在“实施建议”中提出：

感悟数学思想，积累数学活动经验。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。*引自《数学课程标准》P46《全日制数学课程标准2011版》中出现“数学思想方法”等类似语言至少有27处。第一部分前言5次第二部分课程目标5次第四部分实施建议17次

基本思想和基本数学活动经验是数学课程教学中应当特别重视的，是数学素养的重要标志。不仅是学生当前学习和发展的需要，更是学生未来学习和终身发展所必需的。……在实施新的课程标准时，更应当重视对基本思想和基本活动经验的研究和落实。史宁中、马云鹏、刘晓玫，《义务教育数学课程标准修订过程与主要内容》，课程教材教法，2012年第3期一个学科，你学过之后，对这个学科承载的基本思想不知道的话等于没学。

对数学思想的感悟和经验的积累，这是非常隐性的东西。……思想的感悟和经验的积累在很大程度上会改变一个人的思维方法,一个人的思维方法几乎在小学阶段就基本定了。

思想的感悟和经验的积累是隐性的东西,光靠老师讲是不行的,须自己感悟,是悟出来的东西,不是听出来的东西。史宁中，注重“过程”中的教育，人民教育，2012年第7期P32~37。如果一个教师自身缺乏对于“数学思想”的很好理解与深入思考，更缺乏这方面的切身体验以及由此带来的深刻情感，就根本不可能帮助学生很好地理解与掌握“数学思想”。

郑毓信，“数学思想”面面观，小学教学(数学版)，2012年第10期。如果在我国中小学数学教育中,一方面保持"数学双基教学"这个合理的内核,一方面添加"基本思想"和"基本活动经验",出现既有"演绎能力"又有"归纳能力"的培养模式,就必将会出现"外国没有的我们有,外国有的我们也有"的局面,到了那一天,我们就能自豪地说,我国的基础教育领先于世界.史宁中，《数学课程标准》的若干思考，数学通报，2007年第5期。（结束语）这里提出了数学基本思想和数学基本活动经验的问题.

注:史宁中教授从2005年起开始主持教育部

<九年义务教育数学课程标准>的修订工作(组长).

数学思想很重要！我们过去的数学教育不注意思想是不行的。老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中把应该贯穿的思想贯穿。不然，创造性思想怎么培养？谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！------史宁中建设中国特色的数学教育理论张奠宙(见《数学通报》、《数学教学》2010年第1期)

中国的数学课堂教学，具有许多与世界主流研究不同的特色.简言之，中国特色数学课堂教学有六个主要特征：重视新课“导入”设计；实行有效的“尝试”教学；“大班级上进行师班互动”；“开创数学思想方法教学”；“变式方法引领练习”；“熟能生巧推动创新”。

重视反思教学

反思教学是中国数学教育的特长之一，其中最突出的措施包括讲求实效的变式练习，重视数学思想方法的提炼，探究解题教学的规律。张奠宙、赵小平2011年第7期《数学教学》的编后漫笔

作为数学教师，一是要把握整套教材的编排体系；二是要深入理解数学知识的核心概念和知识间的关联结构；三是理解数学知识内蕴的思想方法，自觉地让数学思想引领我们的数学教学。尝试教学法的创始人------邱学华2012年小学数学教育热点问题探讨，小学教学数学版，2013年第3期美国数学课程标准

二、数学素养目标《标准》认为，数学教育应该培养出有数学素养的公民，具体提出五项目标：懂得数学的价值，即懂得数学在文化中的地位和社会生活中的作用；对自己的数学能力有自信心；有解决现实数学问题的能力；学会数学交流，会读数学、写数学和讨论数学；学会数学的思想方法。

什么是好的小学数学教师？好的小学数学教学是什么？我的看法是：好的小学数学教师，能够

以小学数学思想为研究对象，力求从小学数学知识中找出关键要素，挖掘出育人的价值，真正发挥出数学教育的育人效能。这是小学数学教师的本质性追求，是小学数学教师至高的专业思想境界。

方运加，数学的教育意义，中小学数学小学版，2012年第3期

《中小学数学小学版》主编：方运加2013年全国统一高考考试大纲数学（文）一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1．知识要求知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法．2．能力要求（4）实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模式；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明．二、考查要求（2）对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．

一.什么是数学思想方法

一般来说，数学思想就是在数学学习或研究过程中解决问题的根本想法，是数学规律的理性认识，是数学的灵魂。它具有本质性、概括性、指导性的意义。人们习惯上把那些具体的、操作性强的办法称为“方法”，而把那些抽象的、涉及范围较广的或框架性的办法称为“思想”。

数学思想揭示的是数学发展中普遍的规律，为数学的发展起着指引方向的作用。数学方法是在数学思想的指导下解决数学问题的具体程序，它是数学思想的具体化反映。数学思想比数学方法更抽象、更概括、更本质，“思想”是相应“方法”的精神实质和本质概括，是理论根据，“方法”是相应“思想”的技术实施。数学思想对数学方法起着指导作用。

数学知识是基础，数学方法是中介，数学思想才是本源。有了数学思想，数学知识就不再成为孤立、零散的东西，数学方法也不再是死板的教条，从而能从整体上把握数学。简单地说：数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。数学思想对数学方法起着指导作用。什么是数学思想的标准第一，数学的产生和发展所依赖的思想；第二，学过数学的人和没有学过数学的人在思维上的根本差异。数学思想本质上有三个：第一个是抽象，第二个是推理，第三个是模型。

(人们通过抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学学科；通过推理，进一步得到更多的结论，促进数学内部的发展；通过建模，把数学应用到客观世界中，沟通了数学与外部世界的桥梁。)史宁中，数学的基本思想，数学通报，2011年第1期。

数学思想的本质第一个是抽象；第二个是推理；第三个是模型。数学思想的三个层次抽象、推理、模型——数学发展所需要的数学思想数形结合、转化等——数学学习所需要的数学思想配方法、换元法等——数学解题所需要的数学思想数学的威力：

一个方程提升中国卫星图像质量30%

2012年04月09日08:59

来源：解放军报

在小学数学中，许多数学思想和方法往往是一致的，如转化思想和转化方法、假设思想和假设方法等等。因此，我们不妨将数学思想和数学方法看成一个整体概念——对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象,概括与提炼.

人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而选择数学方法，需要依据一定的数学思想。数学思想与数学方法密切联系，而小学数学是最基本的数学知识，所蕴含的数学思想和数学方法很难截然分开，更多的是反映在联系方面，其本质往往是一致的。在小学把数学思想和数学方法看成一个整体概念------数学思想方法，更容易接受和理解。人教版“数学广角”蕴含的数学思想与方法册数内容与课题数学思想方法第二册找规律：探索图案和数字简单的排列规律有序思维第三册简单的排列1、2能组成几个两位数？简单的逻辑推理：猜一猜他们拿的是什么书？排列组合思想简单推理第四册找规律：铺地砖花纹的规律、等差数列的探求规律有序思维第五册简单的组合：有几种不同的穿法？踢几场球？简单的排列：3个数字能摆成几个三位数？排列组合思想第六册重叠问题：参加语文、数学小组的共几人？等量代换：几个苹果与1个西瓜一样重？集合思想等量代换思想第七册运筹问题：烙饼、沏茶、码头卸货等问题对策问题：田忌赛马对策论优化思想第八册植树问题：两端都种、两端都不种、封闭方正中种树等化归、数学建模第九册数字编码：邮政编码、身份证编码、编学号等数字编码思想第十册找次品：5件、9件物品中找次品化归与归纳推理第十一册鸡兔同笼问题化归、数学建模第十二册抽屉原理：4支铅笔放入3个文具盒，怎么放？抽屉原理

数学思想方法是“数学广角”中最本质、最精彩、最具有教育价值的部分。教师应让学生在解决问题的过程中，适时为学生找到适当的渗透途径，使学生体验数学思想方法的灵活，感受数学思想方法的无穷魅力，逐步提高对数学思想方法的认识水平和运用技能。概念的形成过程、结论的推导过程、问题的解决过程、练习的训练过程、复习的展开过程、课外的阅读过程等，都是向学生渗透数学思想方法的极好途径。苏教版教材：解决问题的策略四年级上册：列表(分类的思想方法)四年级下册：画图(数形结合的思想方法)五年级上册：列举(分类的思想方法)五年级下册：倒推(可逆的思想方法)六年级上册：替换(不变量的思想方法)假设(不变量、逼近的思想方法)六年级下册：转化(不变量、等量替换的思想方法)北师大版教材：综合应用解决问题的策略(画图、列举、猜想与尝试、从特例开始寻找规律)

数学思想方法是教材体系的灵魂

在现行的数学教材中，无论是哪个版本都存在着两条主线：一条是明线(显性的写在教材上的)即数学知识，一条是暗线(潜藏在教材中的)即数学思想方法。明线容易理解，暗线不易看明。教师只有深刻领悟了数学思想方法，才能从整体上、本质上理解教材；只有深入挖掘出教材中的数学思想方法，才能科学地、灵活地设计教学过程。

数学思想方法是教学设计的指导思想

数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设计和情境设计三个层次进行。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想方法的飞跃和创造。

数学思想方法是教学质量的重要因素

南京师范大学刘云章教授认为：“不讲数学思想方法的课．不是好课”；“重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋，提高其数学素养．从而提高学习效益和质量”。数学思想方法性高的教学设计，是进行高质量教学的基本保证。

数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。二.小学数学中都体现了

哪些数学思想方法1.转化思想2.数形结合思想3.分类思想4.归纳递推思想5.函数思想6.逐步逼近思想7.集合思想8.代数思想9.类比思想10.无限、程序、统计等思想1.转化思想

在小学数学里，经常将某一问题转化为另一问题，将某些已知条件或数量关系转化为另外的条件或关系，化生为熟、化难为易、化繁为简、化高为低、化曲为直，这种数学思想就是转化思想。

解题就是把题转化为已经解过的题。

------（苏联）雅诺夫斯卡娅

一般人回答是：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是罗莎认为这样并不是最好的回答，而最好的回答是：

“把壶中的水倒掉！”“把壶中的水倒掉”应该是最笨的方法，为什么反而是最好的回答呢？因为数学家这时可以声称“我已经把后一个问题转化成先前的问题了。”尽管这个比喻有点夸张，但这正是数学家思维的方法。这种思维方法与一般的经验科学家相比，往往是独特的，有效的。这个比喻生动的说明转化思想方法的精神实质。数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题。------匈牙利著名数学家路莎.彼得(Rosspeter)转化思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用转化思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。这是苏教版六年级下册100页内容

当时大臣们为什么称不出大象的体重，而曹冲能称出大象的体重呢？

这是因为曹冲成功地运用了“转化的思想方法”。曹冲把称大象的体重转化为称石头的重量。

使船吃水同样深浅称大象体重———————————称石头重量

找出与大象

重量相同的一堆石头

这是人教版小学数学一年级上册120页第10题。这是人教版小学数学一年级下册第77页思考题。这是苏教版小学数学课标新教材六年级下册第71的内容这是苏教版小学数学课标新教材六年级下册第74的内容这是苏教版小学数学课标新教材三年级下册第107页的思考题用12个棱长是1厘米的小正方体拼长方体，可以拼成几种不同的长方体？一次测试老师的三种解答：(1)13种(2)10种(3)长宽高分别是10、10、1或4、3、3长12166121213344宽11122166124131高11221662111413长12166121213宽11122166124高11221662111

鸡兔同笼问题的解法

鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？解法1：列举法。解法2：砍脚法。如果砍掉每只鸡、每只兔的2只脚，则还剩94-35×2=24（只）脚。此时每只鸡已无脚，每只兔还有4-2=2（只）脚，故知兔有24÷2=12（只），鸡有35-12=23（只）。解法3：安脚法。如果给每只鸡安装上2只假脚，这样每只鸡和每只兔都有4只脚，可知一共安装了35×4-94=46（只）假脚，，故知鸡有46÷2=23（只），兔有35-23=12（只）。解法4：假定法。解法5：长方形图法。解法6：方程组法。

在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60条，有几个椅子和几个凳子？

解由“小和尚3人吃一个”知：小和尚1人吃个。小和尚有：大和尚有：……

(1＋2)×3÷(4＋5)±[6－(7＋8－9)]=1

利用1±0=1还可以列出很多等式来。也可以利用0+1=1，如

（1+2－3）×4×5+6÷（7+8－9）=1，

1×[2－（3+4－5）]+6÷（7+8－9）=1，

1×2－（3+4－5）+6÷（7+8－9）=1，

（1+2）×3－4－5+6÷（7+8－9）=1。

23456789=1由于已有1=1，而2+9=3+8=4+7=5+6，所以把(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)加上其中的两对，再减去剩下的两对。例如1+2+3-4-5-6-7+8+9=11+2-3-4+5+6-7-8+9=1……

3.利用4－3=1。只需1、2、5、6、7、8、9运算结果为0。但是(1+2+5+6+7+8+9)÷2=19，而19=9+8+2=9+7+2+1=8+6+5=······，可以得到很多填法。1－2－3+4+5+6+7－8－9=1即为：1－(2+3－4)+5+6+7－8－9=1;1+2－3+4－5－6+7－8+9=1即为:1+2－3+4－(5+6－7+8－9)=1。当然还可以利用5－4=1,6－5=1,7－6=1等等。4.从全局出发。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，要使只用加减法运算结果等于1。由23+22=45，23-22=1知，所有减数之和应该是22。而22=9+8+5=9+7+6=······,可以得到很多填法。1+2+3+4-5+6+7-8-9=11+2+3+4+5-6-7+8-9=1

······这道开放性的小学数学题，思考过程中1与0性质的巧妙运用，充分体现了数学思维的灵活多变，对培养学生的创造思维能力大有好处。小学数学教师要尝试学会长时间地思考一个问题，想深想透，对自己的专业发展十分有利，更会改变一个人的思维方式。

北师大版小学数学教材主编张丹4÷4+4－4=14÷4+4÷4=2(4+4+4)÷4=34+(4－4)×4=4(4×4+4)÷4=54+(4+4)÷4=64+4－4÷4=74+4+4－4=84+4+4÷4=9计算心中常想化整计算定走捷径

鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有____只。(2013年华杯赛决赛小学中年级组赛题)

张景中院士认为

计算和推理是相通的，计算中有方法，方法里就体现了推理；推理是抽象的计算，计算是具体的推理。

一个正方体6个面上分别写着1,2,3,4,5,6.根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。(原义务教育教材第十册第64页思考题)5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？喝的瓶数=买的瓶数+用空瓶换的瓶数

至少要买汽水多少瓶直接考虑有困难，从最多用空瓶换了多少瓶入手。买4瓶汽水可以喝到5瓶汽水，这样每喝5瓶就有1瓶是用空瓶换的。

161÷5=32……1，说明喝的161瓶汽水中最多有32瓶是用空瓶换的。故知：至少要买161-32=129瓶。总结转化方向：化生为熟，化难为易，化繁为简，化抽象为具体转化前提：等价转换，等量转换转化方法：等价变形，数形结合，正难则反

2.数形结合思想

数形结合思想是数学的基本思想方法，它能帮助我们用代数（算术）的方法研究图形或者利用图形来解决代数（算术）问题，平面解析几何就是成功应用数形结合思想的典范。在小学教材里，经常把数量关系用图形来表示，让学生更直观、更深刻地理解数与形的关系。

数形本是相倚依，焉能分做两边飞．数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．几何代数统一体，永远联系莫分离．

_________华罗庚数形结合是重要的数学思想方法之一,它“以形助数”或“以数解形”,使抽象的问题直观化,复杂的问题简单化。在小学阶段，数形结合思想方法的运用更多的体现在“以形助数”上，借助形的直观,显示数量之间的关系，达到解决问题的目的。点、线(线段、数轴、树形图、折线图等)、面(长方形、集合中的韦恩图、统计中的直方图及扇形图等)、体、列表等都是有效的直观手段。这是北师大版小学数学课标教材一年级上册第6页的内容给你n个大小相同的小正方形纸板，你能把这n个小正方形纸板摆成没有缝隙的长方形吗？当n＞1时，(1)用这n个小正方形纸板只能摆成1行n列的长方形；(这样的n不是质数吗)(2)用这n个小正方形纸板不仅能摆成1行n列的长方形，而且还能摆成a行b列的长方形(a、b都是大于1的正整数，ab=n)；(这样的n不是合数吗)当n=1时，还是原来的这一个小正方形。(1既不是质数，也不是合数)

质数、合数概念直观化！这是苏教版小学数学课标教材四年级下册89页的练习题。这是教材四年级下册第91页的例题。画出长方形示意图。

一个平行四边形,相邻两条边的长度分别是12厘米和8厘米。量得它的高是10厘米。它的面积是（）平方厘米。

某商场周日出售液晶电视机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多15台,还剩40台。问商场这天原有液晶电视机多少台？（四年级学生暑假作业题）这是苏教版小学数学课标教材五年级上册26页的内容这是苏教版小学数学课标新教材六年级下册第91页的第11题.

加工一批零件，第一小组5天完成任务，第二小组4天完成任务。已知第二小组平均每天加工480个零件。问第二小组平均每天比第一小组多加工多少个零件？

480÷5=96

480÷5=96

用绳子测井深，把绳三折来量，井外余16分米；把绳四折来量，井外余4分米。求井深和绳长？（原义务教材第11册第93页的思考题）

盈亏问题

把一筐苹果分给一群儿童。每人6个苹果就余下14个苹果；每人8个苹果就缺6个苹果。问有儿童多少人？苹果多少个？

给40个学生发铅笔。每人3支还剩下一些，每人4支又不够。剩下的和不够的同样多，有多少支铅笔？（原义务教材第5册第29页的思考题）小华到A地去旅游，计划骑自行车每小时行10千米，9小时到达。实际上，他行了4小时后，加速行进，结果提前1小时到达A地。问小华4小时后每小时比原计划多行了多少千米？一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行65千米，行了4小时到达目的地，从乙地返回甲地时多用了1小时，这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地开往乙地每小时少行多少千米？（叶仁波主编，北京师范大学出版社出版，《妙题巧解200例》例74）原书给出的巧妙解法是：假如这辆汽车用4小时从甲地开往乙地后，再往前开1小时（与返回时间相同），那么要比返回时多行65千米，也就是说，在5小时内，汽车从甲地开往乙地（过了乙地），要比从乙地返回甲地多行65千米，这样可以求得每小时多行多少千米。65÷（4+1）=13（千米）。

小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分。问：这一次是第几次测验？这是苏教版小学数学课标新教材五年级上册第125页的28题。从长方形图可见：不分等级出售，总收入为长方形ABCD的面积值。分等级出售，总收入为长方形AEFG和长方形EBJL面积和的值。需要比较长方形DHFG与长方形JLHC面积的大小，由于DH＞1.2＞HC,可知:。所以，分等级出售总收入更多，分等级出售更合算。甲乙与学校.0gsp.gsp

3.分类思想

按照事物的某一特征对事物进行分类，再一类一类的加以研究，这也是数学上常用的思想方法。分类时，应当做到既不重复又不遗漏。人教版第一册38——41页就是分类的内容。

人世间的事物是错综复杂的，要对这些错综复杂的事物进行判断和推理，一个有效的方法是把这些事物按照某种准则进行分类，如果分类清楚了，那么就可以对于一个类的事物给出判断的准则。我们都有这样的经验，在一个大范围内说不清楚的东西，在一个小的、具有某种共性的范围内就可能说清楚。

------------史宁中在现代社会，随着科学技术的飞速发展，无论是在自然科学还是在社会科学都遇到了新的难题，就是要处理大量的信息，人们称为海量数据。因为海量数据的复杂性，很难用一个统一的模型来进行刻画，于是人们就想到了利用特性对数据分类，在分类的基础上进行分析。因此，在未来的方法论中，分类的思想将可能越来越重要，也就是说，我们不仅要关心具体与一般之间的共性与差异，也将关心类与类之间的共性与差异。

------------------史宁中

分类在现代数学中占有很重要的地位，无论是传统学科如拓扑、群论、函数论、概率统计，还是生物信息学、经济数学等新兴学科，许多研究都与分类有关。更重要的是，在处理现实生活中的事情时，往往也要借助分类的思想方法。对于中小学数学教育来说，掌握了分类的思想方法，对于学习集合、函数、统计等也都有帮助。

分类的关键是要抓住事物的本质特征，并且把本质特征变为分类的标准，使得在这个标准下的分类能够达到预想的目标。

分类讨论思想是培养学生有条理地思考问题的一种重要而有效的方法。

自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。

分类标准不同分类结果不一样（可以按性别、体重、身高、学号、组号、特长、特征等等）这是人教版课标新教材小学数学一年级上册第32页的内容

这是人教版小学数学课标教材一年级上册第38页的内容

这是人教版小学数学课标教材一年级上册第41页的内容这是北师大版小学数学课标教材一年级上册第52页的内容

这是北师大版小学数学课标教材一年级上册第54页的内容分类标准可以多样化体验分类结果在不同标准下是多样的这是北师大版小学数学课标教材一年级上册第64页的内容这是苏教版小学数学课标教材一年级上册第7页的内容这是苏教版小学数学课标教材一年级上册第8页的内容（课标修订稿）第一学段综合与实践案例19图形分类这是北师大版小学数学课标教材四年级下册第22页的内容这是人教版小学数学课标教材四年级上册41页的内容

这是人教版课标新教材四年级下册第84页的内容。三角形按边分类：有两条边相等的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫等边三角形。这是北师大版小学数学四年级下册第32页的内容

这是人教版课标新教材小学数学四年级上册71页的内容。四边形如何分类？按对边是否平行分为三类：两组对边分别平行的四边形(平行四边形)；只有一组对边平行的四边形(梯形)；两组对边都不平行的四边形(一般四边形)。

这是人教版小学数学课标教材六年级下册第29页的内容这是北师大版小学数学四年级下册第22页的内容这是北师大版小学数学六年级下册第68页的内容这是人教版小学数学教材五年级下册第17页的内容，这里把自然数按照能否被2整除分为奇数和偶数两大类。数学史研究表明：数的最早分类就是奇偶。我国三千多年前的一块甲骨文（编号6422）上，就有两列奇偶数。

这是北师大版课标教材小学数学四年级上册第89页和五年级上册第2页的内容这是人教版课改新教材小学数学五年级下册第23页的内容。这里把正整数按照其约数的个数分为“质数（只有两个约数）、合数（有三个或三个以上个数的约数）、1（只有一个约数）”三大类。我们把自然数按照其约数的个数分为“质数（只有两个约数）、合数（有三个或三个以上有限个数的约数）、1（只有一个约数）、0（有无数个约数）”四大类。这是人教版课标新教材小学数学五年级上册108页的内容，为了统计甲公司职工工资情况，把全体职工分为“经理”、“副经理”、“职员”、“临时工”四类加以统计。这是人教版课标新教材小学数学一年级上册第77的思考题。要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法为：A.5种B.6种C.8种D.10种（1997年陕西省中考题）这是人教版课标新教材小学数学一年级上册第102的思考题这是苏教版课标新教材小学数学五年级下册第50页的思考题。这里涉及到分数的分类。对于，当时

是真分数；当a≤b时是假分数；当b=0时

是零分数。显然，当a是b的约数时能化成整数。这是北师大版小学数学四年级下册第36页的内容分类计数这是北师大版小学数学课标教材二年级下册第73页第4题这是人教版课标新教材小学数学三年级上册113页的内容这是苏教版小学数学课标新教材五年级上册第65页的例题这是苏教版小学数学课标新教材五年级上册第65页的练习题

这是人教版小学数学课标教材五年级下册第143页的思考题可分为“个位数字为2”和“个位数字为4”两类思考。这是人教版课标新教材四年级下册42页的思考题（一）、回忆乘法口诀表：3、4、6、7、8、9中哪两个数字的积的个位数字是2呢？3×4=12,4×8=32,6×7=42,8×9=72。分成四类加以研究：1.利用3×4=12只有1963×4=78522.利用4×8=32只有1738×4=69523.利用6×7=42无4.利用8×9=72无（二）、由□×1□□□=□□52推知：第一个乘数□中可填3、4、6、7、8、9，分成六类加以研究：只有填4时有4×1963=7852,4×1738=6952。这是人教版四年级上册“数学广角”的内容烙1张，有2面，每次烙1面，烙2次，需3×2=6分钟；烙2张，有4面，每次烙2面，烙2次，需3×2=6分钟；烙3张，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9分钟。转化：4=2×2，需6×2=12(分钟)5=2×1+3，需6×1+9=15(分钟)6=2×3，需6×3=18(分钟)7=2×2+3，需6×2+9=21(分钟)8=2×4，需6×4=24(分钟)9=2×3+3，需6×3+9=27(分钟)n=2×k，需6×k=3(2×k)=3n(分钟)n=2×k+1=2(k-1)+3，需6×(k-1)+9=6k+3=3(2×k+1)=3n(分钟)一般地，烙n(n是正整数)张，分三类研究：当n=1时，需要6分钟；当n=2k(k是正整数)时，需要3n分钟；当n=2k+1(k是正整数)时，需要3n分钟

所以：当n=1时，需要6分钟；当n＞1时，需要3n分钟。142753869942753861942357861

4

9

2

3

5

7

8

1

6111618138201525251161813820151251168131820151

11

25

6

8

13

18

20

1

15

3.

统计：（统计每一个数在8个等式中出现的次数）4.

确定最中间数：

出现4次的数是最中间数，是13。5.

确定四角数：

出现3次的数是四角数，是6、8、18、20。加数

1

6

8

11

13

15

18

20

25出现次数

2

3

3

2

4

2

3

3

2

6.填出三阶幻方。

18

1

20

15

13

11

6

25

8a+Da+2d+2Da+da+2da+d+Da+2Da+d+2Daa+2d+D这是苏教版六上第34页的思考题按涂色的面数进行分类（棱长为n）：涂色的面数为0：立方体最中间的，只有(n-1-1)×(n-1-1)×(n-1-1)(块)。涂色的面数为1：立方体的每个面最中间的，有6×(n-1-1)×(n-1-1)(块)。涂色的面数为2：立方体的每个棱的最中间的，有12×(n-1-1)(块)。涂色的面数为3：立方体的每个“尖角”，有8(块)。

这是人教版五年级上册第87页练习十六第7题

把一个三角形分成四个面积相等的三角形，到底有多少种分法呢？根据“等底等高的两个三角形等积”的原理，首先想到把三角形ABC的一条边AB四等分，把各分点、、与另一个顶点C相连，如图1所示。

这样这是人教版课标教材四年级下册92页的习题第4题.

分类计数:分为用2厘米小棒和不用2厘米小棒两类,用2厘米小棒,可以摆出(2,5,6)和(2,6,6)两种三角形;不用2厘米小棒,可以摆出(5,6,6)和(6,6,6)两种三角形.所以一共可以摆出2+2=4种三角形.也可以分为用5厘米小棒和不用5厘米小棒两类:用5厘米小棒,可以摆出(5,2,6)和(5,6,6)两种三角形;不用5厘米小棒,可以摆出(2,6,6)和(6,6,6)两种三角形.所以一共可以摆出2+2=4种三角形.也可以这样分类计数:三个6厘米小棒都用,可以摆出一种三角形(6,6,6);只用两个6厘米小棒,可以摆出两种三角形(6,6,5)和(6,6,2);只用一个6厘米小棒,可以摆出一种三角形(6,5,2).所以一共可以摆出1+2+1=4种三角形.这是北师大版小学数学课标教材二年级下册66页的内容。任取三个非0数字a、b、c且a>b>c,所以由a、b、c构成最大的三位数是，最小的三位数是。a最大是9，c最小是1，a-c最大是8。由于a>b>c,所以a-c的最小值是2。这样把所有的99(a-c)分成7类：198(981-189=792，972-279=693,963-369=594,954-459=495)；297,792(972-279=693,963-369=594,954-459=495

);396,693(963-369=594,954-459=495)；495,594(954-459=495)。（实际上是分为四类：数字为1、8、9；2、7、9；3、6、9；4、5、9）逐类加以验证，最终得到“495”。

小学数学教材中，或显或隐都在渗透着分类思想方法：

(一)、面对繁杂的事物，为了条理化，需要梳理归类-----分类。例如，“整理房间”。

(二)、为了区别，需要分类。

(三)、为了计数，需要分类。

(四)、为了计算与推理，需要分类讨论。现代社会，人们要处理大量的信息------海量数据，处理海量数据的有效方法就是分类，在数据分类统计的基础上再进行分析研究，总结规律。所以在未来社会，分类的思想方法会显得越来越重要。

4.归纳递推思想

通过对具体、个别事物进行观察、比较、分析，逐步总结归纳出一般的规律，这种思想就是归纳递推思想.

借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力.

归纳是创新的动力：没有演绎，就没有知识体系；没有归纳，就没有创新的源泉.一般地,通过归纳来预测结果,然后通过演绎来验证结论.

小学教材里许多运算定律、性质、法则都是采用归纳递推思想得到的.

教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准》在总体目标中指出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：……经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力……”。

在学段目标中指出：第一学段（1~3年级）要“在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。”第二学段（4~6年级）要“能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。”第三学段（7~9年级）要“能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。”史宁中教授在报告“关于《数学课程标准》的若干思考”中认为：希望能够改变过去的教学方法，在教学活动中，能够：继续：促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能；学会：启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。演绎推理来源于亚里士多德(古希腊哲学家，公元前384---322年)，他在《工具论》提出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。这是一种由一般到特殊的推理。英国著名哲学家培根(1561--1626)在《新工具》指出：需要一种“从特殊到一般的推理”，这种推理就是归纳推理。归纳推理就是从个别现象出发，抽象出共性，总结出一般的结论。

杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。(见《我的生平》)史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。

我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。

借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。演绎推理与归纳推理演绎推理是基于“理念”的推理归纳推理是基于“事实”的推理演绎推理是追求“形式”的推理归纳推理是追求“实用”的推理演绎推理是命题所涉及的范围由大到小的推理归纳推理是命题所涉及的范围由小到大的推理演绎推理是为了证明的推理归纳推理是为了推断的推理归纳推理的本质是：从经验过的东西推断未曾经验过的东西，从事物的过去和现在推断事物的未来。我国高中数学课程把发现和提出问题、分析和解决问题的能力细化成十大能力：数学感觉与判断、数据收集与分析、几何直观与空间想象、数学表示与数学建模、

归纳猜想与合情推理、逻辑思考与演绎证明、数学联结与数学洞察、数学计算与算法设计、数学语言与数学交流、理性思维与体系构建。这十大能力每一条都可以在小学找到影子。因此，要从小学开始培养学生的数学能力。这是苏教版小学数学课标新教材五年级上册第60页的习题这是北师大版小学数学课标教材三年级上册第39页的习题这是北师大版小学数学课标教材五年级下册21页的内容.想一想：下一个数是多少？你是怎样想的？

1,2,3,_____.

如果认为1,2,3,……的规律是,则第4个数应该填4.

如果认为1,2,3,……的规律是,

则第4个数应该填5.

如果认为1,2,3,……的规律是,

则第4个数应该填6.

如果认为1,2,3,……的规律是,则第4个数应该填2.韩信点兵又称为中国剩余定理

相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？」

1.下面三个算式的被除数相同,你能填出来吗?□÷7=□……4□÷8=□……7□÷9=□……3原义务教材第三册P122第14*题。2.在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。(1995年小学数学奥林匹克竞赛总决赛题)3.某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是多少？(1998年小学数学奥林匹克竞赛预赛题)

这里的第（1）、（2）小题相对容易，

难在了第（3）小题：你发现了什么规律？

也就是说：分母是n(n>1,n∈N)的所有最简真分数之和有什么规律？

这值得探讨.

例如，分母是2的所有最简真分数之和为

；

分母是3的所有最简真分数之和为1；

分母是4=

的所有最简真分数之和为1；

分母是8=

的所有最简真分数之和为2；

分母是9=

的所有最简真分数之和为3；

分母是16=

的所有最简真分数之和为4.

例如，分母是6=2×3的所有最简真分数之和为1；分母是10=2×5的所有最简真分数之和为2；分母是12=

的所有最简真分数之和为2；分母是72=

的所有最简真分数之和为12.n边形的内角和是（n-2）×180°.n边形的外角和是360°.这是人教版课标新教材四年级下册第120页的思考题.递推法。设n-1个圆片移动的总次数是f(n-1),那么n个圆片移动的总次数是f(n)。

有这样一段关于“世界末日”的传说

在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。

这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。

如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年。把这个寓言和现代科学推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100～150亿年。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年。可见远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。

规律是事物之间内在的本质联系，是从许多具体事物中抽象出来的一种关系模型。归纳猜想规律就是对客观事物、现象之间内在、稳定、反复出现等关系的认识。归纳猜想规律是发展学生抽象思维能力的重要载体，也是提高学生问题解决能力的有效途径。这是北师大版小学数学六年级下册第20页的内容这是北师大版小学数学六年级下册第63页的内容这是北师大版小学数学六年级下册第19页的内容

这是人教版小学数学教材三年级下册“年月日”第52页和第54页的内容。24时计时法与通常的钟表12时计时法有什么关系呢？把24时计时法的时间记作自变量x,把其对应的12时计时法的时间记作y,那么：由此分段函数可知：晚上23时普通钟表时针指向11.

6.逐步逼近思想

所谓逐步逼近思想，就是在解答某一问题时，先舍弃某些条件，找出问题的初步答案，再根据条件，作适当调整，逐步进行下去，直到得出理想的答案为止。例如，除数是多位数的除法，在试商时，我们往往先将除数看作几十、几百、几千、……的数，找出近似商，再根据实际情况，逐次进行调整，直到找出合适的商为止。这是北师大版小学数学四年级上册第41页的内容

一般地,用若干个数字组成两个自然数,要使乘积最大.不管两个自然数的位数如何,

首先确定两个自然数各自最高位上的数字,分别取两个最大的数字;

其次确定两个自然数各自次高位上的数字,分别取剩下数字中两个最大的数字,并注意"较大的数后面接较小的数字";

依次类推.

如果两个自然数的位数不相同,要注意"最大的数字所在的数最小".

例如：用1，2，3，4，5，6组成两个三位数，使其乘积最大。答案为631×542。用1，2，3，4，5，6，7组成一个三位数和一个四位数，使其乘积最大。答案为742×6531。用1，2，3，4，5，6，7组成一个两位数和一个五位数，使其乘积最大。答案为74×65321。用若干个数字组成几个自然数,要使乘积最大.那么可以灵活运用上述原则和方法。例如：用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使其乘积最大。答案为94×852×7631。用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成两个两位数和一个五位数，使其乘积最大。答案为94×85×76321。用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成一个一位数、两个两位数和一个四位数，使其乘积最大。答案为9×83×74×6521。一般地,用若干个非0数字组成两个自然数,要使乘积最小.不管两个自然数的位数如何,

首先确定两个自然数各自最高位上的数字,分别取两个最小的数字;

其次确定两个自然数各自次高位上的数字,分别取剩下数字中两个最小的数字,并注意"较小的数后面接较小的数字";

依次类推.

如果两个自然数的位数不相同,要注意"最小的数字所在的数最小".例如：用1，2，3，4，5，6组成两个三位数，使其乘积最小。答案为135×246。用1，2，3，4，5，6，7组成一个三位数和一个四位数，使其乘积最小。答案为135×2467。用1，2，3，4，5，6，7组成一个两位数和一个五位数，使其乘积最小。答案为13×24567。