第三章 远期与期货定价

金融工程FinancialEngineering

授课人：王正文讲师

武汉大学经济与管理学院

邮箱：wzw13@第三章远期与期货定价第一节远期价格与期货价格远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。

－在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。－在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。

3.1.1远期价值、远期价格与期货价格远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。

－一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零，实际上隐含了套利空间。－在远期合约签订之后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。3.1.1远期价值、远期价格与期货价格类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（FuturesPrices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。3.1.1远期价值、远期价格与期货价格当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。3.1.2远期价格与期货价格的关系当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。3.1.2远期价格与期货价格的关系当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。3.1.2远期价格与期货价格的关系当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。3.1.2远期价格与期货价格的关系当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。3.1.3基本的假设与符号为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：1．没有交易费用和税收。2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3．远期合约没有违约风险。4．允许现货卖空。5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或空头地位。（一）基本的假设3.1.3基本的假设与符号本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时间。S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。（二）符号3.1.3基本的假设与符号本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时间。S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。（二）符号3.1.3基本的假设与符号F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。（二）符号（续）第二节无收益资产远期合约的定价无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.1本章所用的定价方法为无套利定价法。基本思路为：构建两种投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等；否则就可进行套利，众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。16无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.117远期A价格：远期合约签订时价格为零的交割价格A:远期价格P1B:资产组合P3A:终值价值P2P1+ΔP=P2P2=P3根据无套利定价法，初值也应该相等无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.1无收益资产：是指远期合约的标的资产在从时刻t到远期合约到期时刻T之间不产生现金流收入。如贴现债券，在票面上不规定利率，发行时按某一折扣率，以低于票面金额的价格发行，到期时仍按照面额偿还本金的债券。为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金，K为远期合约中的交割价格；组合B：一单位标的资产。远期合约现金组合A标的资产组合B18无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.1例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。19问题：假设还存在第二种方法构造组合A’和B’，那么这两种方法得到的结果是否是唯一的？无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.1例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。远期合约现金组合A标的资产组合B20

在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。

即t时刻价值f：

f+Ke-r（T－t）=S

无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.121当前价值价值改变量未来价值

在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。

即t时刻价值f：

f+Ke-r（T－t）=S

f=S－Ke-r（T－t）

（3.1）

该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。

无套利定价法与无收益资产的远期价值3.2.122无收益资产的现货-远期平价定理3.2.2由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格，即当=0时，=。据此可令式（3.1）中的=0，则远期价格F：

(3.2)

这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货期货平价定理（Spot-FuturesParityTheorem）。23为了证明无收益资产的现货-远期平价定理，我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r

借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了

K－Ser（T－t）

的无风险利润。

无收益资产的现货-远期平价定理3.2.224若K<Ser（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-K的利润。无收益资产的现货-远期平价定理3.2.225无收益资产的现货-远期平价定理3.2.226无收益资产的现货-远期平价定理3.2.227远期价格的期限结构3.2.3

远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。

设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益资产的现货-远期平价公式可知,

两式消除掉S后，（3.3）28远期价格的期限结构3.2.329基期价格当期无风险利率当期时长基期无风险利率基期时长远期价格的期限结构3.2.3

远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。

设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益资产的现货-远期平价公式可知,

两式消除掉S后，（3.3）30远期价格的期限结构3.2.331案例无收益资产远期合约的远期价格期限结构目前，3个月期和6个月期的无风险年利率分别为3.99%与4.17%。某支不支付红利的股票3个月期合约的远期价格为20元，该股票6个月期的远期价格为？根据题意F=20,r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5可以得出6个月期远期价格应该为：F*=F*er*(T*-t)-r(T-t)=20.22第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价32

支付已知现金收益的标的资产是指在远期合约到期前会产生完全可预测的现金流的资产，例如支付已知现金红利的股票。

仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期合约定价。构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke–r(T-t)的现金。组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。支付已知现金收益资产的远期价值3.3.133组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即

(3.4)从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和(I+Ke–r(T-t))单位无风险负债构成。支付已知现金收益资产的远期价值3.3.1343.3.135案例支付已知现金收益资产远期合约的价值目前，6个月期和1年期的无风险年利率分别为4.17%与4.11%。市场上一种10年期国债现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到60元利息，且第二次付息在远期二月交割之前，求该合约的价值。根据题意，可以先算出该债券已知现金收益的现值I=60*e-4.17%*0.5+60*e-4.11%*1=116.35进一步可以得到远期合约多头的价值：f=S-I-Ke-r(T-t)=-87.04相应的合约的价值为87.04.支付已知现金收益资产的远期价值支付已知现金收益资产的远期价格3.3.2

令f=0,K=F,根据远期价格的定义，我们可从式中求得：（3.5）这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。36反证法：

假设，即交割价格高于远期理论价格。则套利者可以进行如下操作：以无风险利率借入现金S买入标的资产，并卖出一份交割价为K的远期合约，将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出至T时刻。这样，到T