计算机组成原理数据与文字的表示方法

第二章运算方法与运算器

运算方法和运算器本章内容：2.1数据与文字的表示方法2.2定点加法、减法运算2.3定点乘法运算2.4定点除法运算2.5定点运算器的组成2.6浮点运算方法和浮点运算器本章小结运算方法和运算器2.1数据与文字的表示方法2.1.1数据格式2.1.2数的机器码表示2.1.3字符与字符串的表示方法2.1.4汉字的表示方法2.1.5校验码数据与文字的表示方法无论什么类型的信息，在计算机内部都是以二进制编码形式表示的。每个数都可以表示成按“权”展开的多项式十进制346.79=3×102+4×101+6×100+7×10-1+9×10-2二进制1011.101=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3八进制107.63=1×82+0×81+7×80+6×8-1+3×8-2十六进制1CB.D8=1×162+12×161+11×160+13×16-1+8×16-2几进制的表示 （1）B,D,H,O的使用 （2）下标法B:binary(二进制)D:decimal（十进制）O:octal（八进制）H:hexadecimal（十六进制）如：346.79D，1011.101B107.63O,1CB.D8H二、八、十六和十进制数的对应关系二进制数八进制数十六进制数十进制数0000

0001

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151.二进制、十六进制转换为十进制(1011.101)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1

+0×2-2+1×2-3=(11.625)10(3D.B)16=3×161+13×160+11×16-1=(61.6875)102.十进制转换为二进制 整数部分：除2取余，倒序取 小数部分：乘2取整，顺序取3.十进制转换为八进制、十六进制

类似于十进制转换为二进制，只是权不同(20.59375)10转换成2进制为？二进制与十六进制数之间的转换（16＝24）

011010011010.11101010011069A.EA6二进制与八进制数之间的转换（8＝23）

011010011010.111010100110

3232.7246目标：11010011010.11101010011二、八、十六和十进制数的对应关系二进制数八进制数十六进制数十进制数0000

0001

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15二进制数的运算规则加法规则0+0=00+1=11+0=11+1=0减法规则0-0=00-1=11-0=11-1=0乘法规则

0×0=00×1=01×0=01×1=1除法规则0÷1=01÷1=11101111111=10000000-1=27-10.1111111=1.0000000-0.0000001=1-2-77个17个0小数点后7位小数点后7位2.1.1数据格式

计算机中常用的数据表示格式有两种：（1）定点格式（2）浮点格式

定点格式（小数点位置固定）容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。

浮点格式（小数点位置浮动）容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。数据格式1.

定点数的表示方法定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是按约定固定不变的，小数点就不再使用记号“.”来表示。定点数据的形式：纯小数或纯整数。

（设：定点数表示为ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

其中：ｘ0符号位，0代表正号，1代表负号）小数点的位置约定在符号位x0的后面（不显示）小数点的位置约定在数值位xn的后面（不显示）定点数的表示方法定点数例例：X=+1010110.纯整数：X=01010110.正数，符号位取0Y=-1101001.纯整数：Y=11101001.负数，符号位取1X=+0.11011Y=-0.10101符号位取0纯小数：X=0.11011符号位取1纯小数：X=1.10101纯整数：X=01010110.符号位取0纯整数：Y=11101001.符号位取1符号位取0纯小数：X=0.11011符号位取1纯小数：X=1.10101注意到：无论是整数或是小数，在机器数的表示中，都不出现小数点“.”,只是约定其位置。定点数例(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

各位均为0时最小；各位均为1时最大)纯小数的表示范围：0≤|ｘ|≤1－2－n

(2.1)

纯整数的表示范围为: 0≤|ｘ|≤2n－1(2.2)

目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。

定点数的表示方法2、浮点数的表示方法例：156.78 =15.678×101

=

1.5678×102

=0.15678×103=M×RE其中：M为尾数；R为基数；E为阶码（指数）。二进制数在定点计算机中，一般约定:尾数|M|<1.0，并按此原则确定各数据的浮点表示格式。∴上例+156.67=0.15678×103

（规格化表示法）同理：对于二进制数+1011.1101=+0.10111101×2+4

=0.10111101×2+100=M×RE那么，计算机中究竟采用哪种数据形式？显然存在多种数据形式浮点数的表示方法浮点数表示可见： 一个机器浮点数由阶码E和尾数M及其符号位组成。约定：尾数M用定点小数表示，给出有效数字的位数，M决定了浮点数的表示精度；

阶码E：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，其决定了浮点数的表示范围。早期计算机中浮点数的一般形式为：

浮点数表示按照IEEE754的标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为：其中：Ｓ=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数。

Ｍ=尾数，23位，用纯小数表示。Ｅ=阶码，8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。

其中：Ｓ=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数。

Ｍ=尾数，52位，用纯小数表示。Ｅ=阶码，11位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。

浮点数表示几点注释：

为了提高数据表示精度，当尾数值不为0时，尾数域的最高有效位应为1，否则通过修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。浮点数所表示的范围显然远比定点数大。以下两种情况计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。⑴当浮点数的尾数M为0；（不论其阶码E为何值）⑵当阶码E的值＜Emin值时。（不管其尾数M为何值）

IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为x=(-1)S×(1.M)×2E-127e=E-127IEEE754标准中，一个规格化的64位浮点数x的真值可表示为x=(-1)S×(1.M)×2E-1023e=E-1023因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储浮点数表示[解:]首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375＝10100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间10100.10011＝1.010010011×24小数点被左移了4位，于是得到：e＝4

尾符

S＝0，阶码

E＝4＋127＝131，尾数

M＝010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：01000001101001001100000000000000＝(41A4C000)16此“1”被隐藏[例]：将十进制数20.59375转换成位浮点数的二进制格式来存储。

3.十进制数串的表示方法十进制数串在计算机内主要有两种表示形式：

1.字符串形式字符串形式：每一个十进制的数位或符号位都用一个字节存放。如：+12

+12-38-382.压缩的十进制数串形式压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。如：+123、-12

123C(＋123)012D(－12)十进制数的表示方法2.1.2数的机器码表示

基本思想：把符号位和数字位一起编码来表示一个 实际的数。主要表示方法有：原码、补码、反码、移码等。各种编码表示的数称为机器数或机器码；其对应的真实数值称为该编码对应的真值。数的机器码表示对于定点整数

X=±Xn-1…X1X0，则原码的定义是:对于定点整数，其原码形式为：[ｘ]原=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0,注意到：原码机器中“+0”、“-0”有两种形式：对于定点整数：[+0]原=0000…0.[-0]原=1000…0.数的原码表示ｘ2n＞ｘ≥02n－ｘ＝2n＋|ｘ|0≥ｘ＞－2n（2.8）符号数值1.原码表示法一般情况下，对于定点整数，其真值与原码之间的转换符合下面的规律：x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1ｘ1ｘ2…ｘn.对于定点小数，其真值与原码之间的转换符合下面的规律：x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1.ｘ1ｘ2…ｘn数的原码表示原码的表示范围是多少？则它能表示的数的范围为[-(2n-1),2n-1]假设[ｘ]原=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原码形式为：负的最小值原码形式为：011……1111……1

原码表示法的主要特点是简单、易懂，但它的最大缺点是：由于数值部分采用绝对值表示，因而使得加减法运算比较复杂，而加减法运算正是计算机中最常使用的运算。所以，必须探讨解决方法——补码则正是一种解决方法。数的原码表示例如，假设用5位原码来表示，x=+1001则[x]原=01001y=-1001则[y]原=110012.反码表示法二进制数求反：就是二进制的各位数码0变为1，1变为0。即：若xi=0，则=1。若xi=1，则=0.对定点整数，反码表示的定义为：数的反码表示正数的反码就是本身负数的反码则是符号位为1，数值位求反。x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)_例如，假设用5位反码来表示，x=+1001则[x]反=01001y=-1001则[y]反=10110注意到：机器中反码“+0”、“-0”有两种形式：对于定点整数：[+0]反=0000…0.[-0]反=1111…1.反码的表示范围是多少？则它能表示的数的范围为[-(2n-1),2n-1]假设[ｘ]反=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原码形式为：负的最小值原码形式为：011……1100……0一般情况下，对于定点整数，其真值与反码之间的转换符合下面的规律：x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝1ｘ1ｘ2…ｘn.对于定点小数，其真值与反码之间的转换符合下面的规律：x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝1.ｘ1ｘ2…ｘn数的原码表示3.补码表示法

补码的概念（以钟表对时为例）

假设现在的标准时间为4点正；而有一只表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；一是将时针向前拨12-3=9格。显然：这两种方法都能对准到4点，由此可以看出，减3和加9是等价的。所以称：当模数Mod=12时，9是(-3)补码。用数学公式表示：-3＝+9 （mod12）“模”表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。

∴设某数为x，当Mod=12时，x-3=x+9、x+7=x-5都是等价的。从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。数的补码表示补码的定义：1、定点整数正数的补码就是本身负数的补码需作运算数的补码表示x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

注：上式机器数的位数为n+1根据补码定义，求负数的补码时需作一次减法运算，这显然不是补码方法的初衷。后面将介绍反码表示法可以解决负数的求补问题。例：已知 x=+10111, y=-11011,求[x]补、[y]补(n=5)按定义：[x]补=010111 [y]补=25+1+y=1000000-11011=100101数的补码表示100000011011100101数的补码表示注：0的补码只有一种形式

对于定点整数:[＋0]补＝[－0]补＝00000.

因此，补码的表示范围相对于原码、反码来讲多一种，n+1位定点整数可以表示-2n。对定点整数，反码表示的定义为：

比较两个公式，可以得出定点整数的补码与反码的关系，找出利用反码求定点整数补码的方法。当x为负数时，[X]补=[X]反+1x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)_数的补码与反码关系x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

对一个定点整数来说，一个负数的补码，可以通过将该数符号位置1，其余取反，然后在最末位加1的方法直接获得。数的补码与反码关系补码的表示范围是多少？则它能表示的数的范围为[-2n,2n-1]假设[ｘ]补=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原码形式为：负的最小值原码形式为：011……1100……0正负整数的补码与真值的关系假设[ｘ]补=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0则其补码表示的真值为：x=-2nxn+∑2ixii=0n-1例3：已知[x]补=010011011求x=？例4：已知[x]补=110011011求x=？

求一个数的补码的另一种有效的转换方法：

对于负数，将原码的符号位不变（或置真值的符号位至1），数值部分由低位向高位转换，对开始遇到的0和第一个1取其原码，以后的各位均取反。例：