第十二章 分离变量法

第十二章分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题掌握求解非齐次方程的本征函数展开法掌握将非齐次边界条件齐次化的方法

本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法．

其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．12.1分离变量理论

对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程12.1.1偏微分方程变量分离及条件

对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？（12.1.1）通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：

(12.1.2)根据方程(12.1.2)类型直接可知：方程是双曲型的

它是抛物型的

它是椭圆型的

假设（12.1.2）的解有下列分离的形式

其中

(12.1.3)分别是单个变量的二次可微函数。

代入(12.1.2)即有(12.1.4)1.常系数偏微分方程讨论:若（12.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的

代表，将方程两边同除以XY,则要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程对于变系数函数

，假设存在某一个函数

，使得方程除以后变为可分离的形式上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为

，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离

需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离．但对于变系数的二阶偏微分齐次方程第一类边界条件第二类边界条件

12.1.2边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的

三类边界条件为假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：

第三类边界条件可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．求定解问题的不恒等于零的解须因此得12.2直角坐标系中的分离变量法

12.2.1分离变量法介绍例12.2.1：具体考虑长为，两端固定的均匀弦的自

由振动泛定方程

（12.2.１）（12.2.２）初始条件

（12.2.３）

边界条件

【解】

第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解代入（12.2.１）和（12.2.２）定解问题的泛定方程变为偏微分方程分离成两个常微分方程:(12.2.4)(12.2.5)也不依赖于x的常数，不妨设常数为

要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,(12.2.6)

否则得零解，对于齐次微分方程是无意义．我们所谓的求解是指的求出非零解

由齐次边界条件有（12.2.7）故得边界条件是齐次的，才得出（12.2.７）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程（12.2.5）（12.2.7）注意：本征值不能任意取，只能根据边界条件（12.2.7）取某些特定值。本征函数不同（12.2.5）所对应的解本征值问题求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题

定义：二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分方程的通解：附录:（12.2.5）的解为

（１）和由（12.2.７）确定，即有三种可能逐一加以分析求解（12.2.5），将由此解出被排除

（２）、方程（12.2.5）的解是解出和由（12.2.7）确定，即

也被排除．

（12.2.5）的解如

，则仍然解出

（３）和由（12.2.7）确定，即只剩下一种可能性：

（12.2.8）与对应的函数为

（12.2.9）（12.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数．方程（12.2.5）和条件（12.2.7）则构成本征值问题或固有值问题．

第三步：先求特解，再叠加求出通解

（12.2.10）方程的解：（12.2.11）其中和是待定常数．，由方程（12.2.4）求出相应的

对于每一个本征值（12.2.12）（12.2.9）和（12.2.11）代入到解得到变量分离形式的特解这就是满足(12.2.1)和条件（12.2.2）的通解（12.2.13）线性叠加后的解初始条件(12.2.3)确定叠加系数（12.2.14）第四步:利用本征函数的正交归一性确定待定系数至此，定解问题（12.2.1）-(12.2.3)的解已经求出(12.2.15)可确定待定系数:(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意：(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分方程并非总能实施变量分离12.2.2.解的物理意义特解(12.2.12)改写为

(12.2.16)驻波叠加振幅:频率:初位相:波节:波腹:点数为2，3，4的驻波形状

图12.1（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相于是我们也可以说解是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．中最小的一个

称为基频，相应的称为基波．称为谐频，相应的称为谐波．

基波的作用往往最显著．

具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形式中方程的分离．在直角坐标系中热传导方程为坐标变量和时间变量分离2.三维形式的直角坐标分离变量从前面讨论的例子容易看出，分离变量的本征值通常是正数，

所以在上式中我们采用实数的平方形式来表示．得上式即为亥姆霍兹方程．

又可以表成如下分离形式：

由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数．而且彼此独立，因此只有当每一项分别等于某一任意的分离常数时，上述等式才成立，于是，得到其中

上面三个方程，就是的分离方程，这些分离方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合．若是有限区域的情形，这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件，即构成本征值问题．在这种情况下，这些分离的常数应是一系列离散值（例如它们分别与一系列整数关），这些离散值即本征值；与此相应的解即本征函数，而时间部分的解为因此，三维形式中热传导问题的完整解为12.2.3直角坐标系分离变量例题分析

上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．例12.2.2研究定解问题：

【解】用分离变量法求解.令代入（12.2.17），(12.2.18)，得本征值问题及对本征值问题（12.2.22）­~（12.2.23