第十二章-微分方程

第十二章-微分方程第一页，共42页。微分方程第六章—积分问题—微分方程问题

推广第6章第一页第二页，共42页。微分方程的基本概念

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§1

了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的基本概念第6章第二页第三页，共42页。引例.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.机动目录上页下页返回结束第6章第三页第四页，共42页。常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束第6章第四页第五页，共42页。—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束第6章第五页第六页，共42页。例1.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件机动目录上页下页返回结束第6章第六页第七页，共42页。主讲教师：高彦伟总课时：124

第一百一十三讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育第七页第八页，共42页。可分离变量微分方程

机动目录上页下页返回结束§2解变量可分离方程

变量可分离的微分方程

第6章第八页第九页，共42页。分离变量方程的解法:设y＝

(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束第6章第九页第十页，共42页。例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束第6章第十页第十一页，共42页。例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束第6章第十一页第十二页，共42页。例3:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束第6章第十二页第十三页，共42页。内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

机动目录上页下页返回结束第6章第十三页第十四页，共42页。练习1.已知一阶微分方程（1）求通解；（2）求它过点（1，4）的特解；（3）求出与直线相切的解。第十四页第十五页，共42页。解：（1）方程变形为将方程两端积分，有（2）将点（1，4）代入通解，得所求特解为（3）解方程组由于相切，故根的判别式所求曲线为第十五页第十六页，共42页。2.求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动目录上页下页返回结束第6章第十六页第十七页，共42页。主讲教师：高彦伟总课时：124

第一百一十四讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育第十七页第十八页，共42页。齐次方程

机动目录上页下页返回结束会识别齐次方程，会求其解第6章

§3第十八页第十九页，共42页。齐次方程的定义形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束第6章第十九页第二十页，共42页。例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束第6章第二十页第二十一页，共42页。例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束第6章第二十一页第二十二页，共42页。例3.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分故原方程的通解为(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束第6章第二十二页第二十三页，共42页。主讲教师：高彦伟总课时：124

第一百一十五讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育第二十三页第二十四页，共42页。一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束一、一阶线性微分方程的形式第6章二、掌握求通解的计算公式

§4第二十四页第二十五页，共42页。一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束第6章第二十五页第二十六页，共42页。对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束第6章第二十六页第二十七页，共42页。例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第6章第二十七页第二十八页，共42页。例2.

求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束第6章第二十八页第二十九页，共42页。内容小结一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式机动目录上页下页返回结束第6章第二十九页第三十页，共42页。练习1.判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程机动目录上页下页返回结束第6章第三十页第三十一页，共42页。2.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出机动目录上页下页返回结束第6章第三十一页第三十二页，共42页。2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动目录上页下页返回结束第6章第三十二页第三十三页，共42页。2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动目录上页下页返回结束第6章第三十三页第三十四页，共42页。主讲教师：高彦伟总课时：124

第一百一十六讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育第三十四页第三十五页，共42页。一阶微分方程的解法练习机动目录上页下页返回结束一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题第6章第三十五页第三十六页，共42页。一、一阶微分方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤三个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,.机动目录上页下页返回结束第6章第三十六页第三十七页，共42页。例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解机动目录上页下页返回结束第6章第三十七页第三十八页，共42页。方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结束第6章第三十八页第三十九页，共42页。提示：机动目录上页下页返回结束第6章第三十九页第四十页，