方向导数、梯度和泰勒公式_第1页
方向导数、梯度和泰勒公式_第2页
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方向导数、梯度和泰勒公式_第5页
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方向导数、梯度和泰勒公式第一页，共40页。实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出第一页第二页，共40页。讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）第二页第三页，共40页。当沿着趋于时，是否存在？第三页第四页，共40页。记为第四页第五页，共40页。证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到第五页第六页，共40页。故有方向导数第六页第七页，共40页。解第七页第八页，共40页。解由方向导数的计算公式知第八页第九页，共40页。故第九页第十页，共40页。推广可得三元函数方向导数的定义第十页第十一页，共40页。第十一页第十二页，共40页。解令故方向余弦为第十二页第十三页，共40页。故第十三页第十四页，共40页。三、梯度的概念第十四页第十五页，共40页。第十五页第十六页，共40页。结论第十六页第十七页，共40页。在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量第十七页第十八页，共40页。等高线的画法播放第十八页第十九页，共40页。例如,第十九页第二十页，共40页。梯度与等高线的关系：第二十页第二十一页，共40页。类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数第二十一页第二十二页，共40页。第二十二页第二十三页，共40页。解由梯度计算公式得故第二十三页第二十四页，共40页。1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结第二十四页第二十五页，共40页。思考题第二十五页第二十六页，共40页。思考题解答第二十六页第二十七页，共40页。第二十七页第二十八页，共40页。练习题第二十八页第二十九页，共40页。第二十九页第三十页，共40页。练习题答案第三十页第三十一页，共40页。等高线的画法第三十一页第三十二页，共40页。等高线的画法第三十二页第三十三页，共40页。等高线的画法第三十三页第三十四页，共40页。等高线的画法第三十四页第三十五页，共40页。等高线的画法第三十五页第三十六页，共40页。等高线的画法第三十六页第三十七页，共40页。等高线的

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