正弦定理知识点总结及讲义

正弦定理讲义正弦定理和余弦定理定理定理正弦定理余弦定理abc＝2R(R是△内容sinA＝sinB＝sinCABC外接圆的半径)a2＝ b2＋c2－2bccosA b2＝ a2＋c2－2accosB c2＝ a2＋b2－2abcosC ①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；②sinA＝a2Rb2R，sinC cosA＝常见变形＝c2R；cosB＝b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab；；解决解斜③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(1)两角和任一边，求另一角和其他两条边；cosC＝(1)三边，求各角；三角(2)两边和其中一边的对角，求另一形的问题(2)两边一角，求第三边和其他两个角边和其他两角在△ABCa，bA时，解的状况如下图形关系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解AA为锐角A为钝角或直角(1)

1

·ha(ha边上的高)．(2)

1 sin 1 aa

1 sinA．S＝2ab

B＝bc2(3) 1(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．S＝2r

错误!未定义书签。在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.在三角形中，大边对大角，大角对大边．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinC

A＋B2

C＝cos2，cos

A＋B2 ＝sin2.tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．6．∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC．3 8A为最大的角，则A∈[π，π)A为最小的角，则A∈(0，π]A、B、C成等差3 3数列，则B＝π.3例1.在ABC中，三内角A,B,C分别对三边a,b,c，tanC径R为〔 〕A.10 B.8 C.6

4c8，则ABC外接圆半3答案：答案：D解答：由由tanCsinC4cosC4csin2Ccos2C13sinC ，依据正弦定理 2r∴r=5故答案为：55 sinC2.在

ABC

中，假设

A60,a

abc33sinAsinBsinC33

等于〔 〕3132 B.2 C.

D.2答案：Dabc

a33 233解析：由正弦定理得sinAsinBsinC sinA2例3.ABC中，A:B:C=1:1:4,则a:b:c〔 〕33A.1:1:4 B.1:1:2 C.1:1: D.2:2:33答案：C解析解析:△ABC中,∵A:B:C=1:1:4,故三个内角分别为30°、30°、120°，则a:b:c=sin30°:sin30°:sin120°=1:1:3，考点二两角及一边24.在ABCA105B45b22

，则c〔 〕2A.2 B.2答案：A

1C.1 D.2解析:∵在△ABCA=105°，B=45°，∴C=30°.c再由b=2 2，利用正弦定理可得

2 2

c=2，sinC sin45例5.在ABC中，B45,b5,tanA2，则a〔 〕2A.102

2 C. D.10102答案：B10102

2 5sinA22 5解析：由题意知tanA2，则cosA 解得sinA ，由正弦定理得a b 5

sin2Acos2A1 510a2102sinA sinB ，则22例6.在ABC中，A60,b10,a15，则cosB〔 〕2266A.2 B.2 C. D.22663 3 3 3答案：C解析：解析：asinAbasinAbsinBsin6015 sinB，解得sinB= 3，又∵b又∵b<a，∴B<AB为锐角，∴cosB=1cos2B36，366例7.在ABC中，假设C60,B45,c1，则ABC中最短边的边长等于〔 〕3661A.2

2 C. 2 D. 3答案：D解析：由解析：由B=45°,C=60°可得A=75°，∵Bb，cb由sinC sinB可得,b=csinBsinC63。考点三两边及其一边对角例8.ABC的内角A,B,C的边分别为a,b,c，a 3,b 6,A6

，则B=〔 〕A.4

3 4或4 C.3或

2 3 D.3答案：B解析：由正弦定理可得：解析：由正弦定理可得：3sin30 sinB6,∴sinB=22，∵B∈(0,)，∴B=4或34.例9.在ABC中，A30,b2 3,a2，则B=〔 〕A.30 B.60 答案：C析：由A30,b2 3,a2，aab依据正弦定理sinA sinB,得：sinB=1bsinA2 3a2232，10.ABCA,B,Cabc，假设sinAB1a3c4，则sinA3〔 〕2 1 3 13

4

4

6答案：B

sinABsinC1

a ca3,c4 解析：由得

3，又

，由正弦定理得

sinA sinC，即3 4，解得sinA1。sinA 1 43考点四边角互化例11.在ABC中，假设b2asinB，则A= b2asinBsinB2sinAsinBsinA1A或5.2 6 612.ABCA,B,Cabc，asinAsinBbcos2A

b2aa

〕33222 B.2 C. D.3322答案：D解析：解析：∵∵ABC中,asinAsinB+bcos2A= 2a，2sinA，∴依据正弦定理,sin2AsinB+sinB2sinA，可得可得sinB(sin2A+cos2A)= 2sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB= 2sinA,得b= 2a,可得ab2。13.ABCA,B,Cabc3bcosCc13cosB，则sinCsinA〔 〕A.2:3 B.4:3 C.3:1 D.3:2答案：Caabc解析：由正弦定理,设sinA sinB sinC=k，∵3bcosC=c(1−3cosB).∴cosA3cosC3sinCsinAcosBsinB.即3sinBcosC=sinC(1−3cosB)，sinC=3sin(B+C)∴sinC=3sinA,因此sinC:sinA3:1.例14.ABC的内角A,B,C的边分别为a,b,c假设asinBcosCcsinBcosA则B〔 〕

1bab，2 2 56

3

3 D.6答案：A11解析：△ABC中,asinBcosC+csinBcosA=2b，1由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=2sinB，且sinB≠0，1∴sinAcosC+sinCcosA=2，1∴sin(A+C)=2；A+B+C=π，1∴sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=2；∴B=6A,B,CabcacosCccosA2bsinAA的值为〔 〕 5

2 56

3 C. 3

D. 或6 6答案：D解析：∵解析：∵A+C=π−B,A,B∈(0,π)，∴sin(A+C)=sinB>0，又∵2bsinA=acosC+ccosA，∴∴2sinBsinA=sinAcosC+cosA