【6份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第12章 概率、随机变量及其分布

第十二章概率、随机变量及其分布§12.1随机事件的概率内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的

会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个

称为随机事件A的概率，记作P(A).频率常数知识梳理1答案2.事件的关系与运算

定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B

事件A(或称事件A包含于事件B)

(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)包含B⊇AA＝B并事件答案交事件(积事件)若某事件发生当且仅当

且

，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)＋P(B)＝1事件A发生事件B发生答案3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：

.(2)必然事件的概率P(E)＝

.(3)不可能事件的概率P(F)＝

.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)答案互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.知识拓展判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的.(

)(2)随机事件和随机试验是一回事.(

)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(

)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(

)(6)两互斥事件的概率和为1.(

)××√×√×思考辨析答案1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶解析射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.D考点自测2解析答案123452.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8解析因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.B解析答案123453.(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(

)A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石B解析答案123454.给出下列三个命题，其中正确的命题有________个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是

；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.解析①错，不一定是10件次品；②错，

是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.0解析答案123455.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为________.解析①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.②解析答案12345返回题型分类

深度剖析例1

某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)A与C；解由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.事件关系的判断题型一解析答案(2)B与E；解事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件.解析答案(3)B与C；解事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.解析答案(4)C与E.解由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.思维升华解析答案对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件.这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.思维升华判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.跟踪训练1解析答案解①是互斥事件，不是对立事件.“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件.②不是互斥事件，也不是对立事件.“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.③是互斥事件且是对立事件.“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立.例2

(2015·北京)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.随机事件的频率与概率题型二商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；解从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

＝0.2.解析答案(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；解从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

＝0.3.解析答案(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解与(1)同理，可得：所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.解析答案思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.思维升华某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902

优等品频率

跟踪训练2(1)计算表中乒乓球优等品的频率；解依据公式f＝

，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.解析答案(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.解析答案命题点1互斥事件的概率互斥事件、对立事件的概率题型三解析答案解方法一从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个).命题点2对立事件的概率例4

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；解析答案(2)1张奖券的中奖概率；解1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)解析答案(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，解析答案思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法.思维升华国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12跟踪训练3求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.解析答案(2)命中不足8环的概率.解设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则

表示事件“射击一次，命中不足8环”.又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.解析答案返回思想与方法系列典例(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53思想与方法系列23.用正难则反思想求互斥事件的概率易错提示解析答案返回思维点拨已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)...温馨提醒思维点拨

(1)若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.(2)若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.易错提示解析答案返回温馨提醒该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. [2分]易错提示解析答案返回温馨提醒易错提示解析答案返回温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义.(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.温馨提醒易错提示返回易错提示

(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体.(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.返回思想方法

感悟提高1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).2.从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件

所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.方法与技巧1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.失误与防范返回练出高分12345678910111213141.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是(

)A.①②④ B.②④C.③④ D.①②15解析答案1234567891011121314解析对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A、B为对立事件，则一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确.故B正确.答案B15123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案C3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是

，那么概率是

的事件是(

)A.至多有一张移动卡

B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.123456789101112131415A解析答案4.从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：123456789101112131415卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是(

)A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37解析答案解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为

＝0.53.故选A.答案A1234567891011121314155.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(

)123456789101112131415A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45解析答案123456789101112131415解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.答案D1234567891011121314156.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件.③②①答案7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案0.251234567891011121314158.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是_________.解析答案9.(2014·陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：123456789101112131415赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；解析答案解设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得123456789101112131415由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.解设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为

＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；解第六组的频率为

＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.123456789101112131415解析答案123456789101112131415(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数；解析答案123456789101112131415解身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为0.18×800＝144.123456789101112131415(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F).解析答案123456789101112131415解第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况，因事件E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，故P(E)＝.123456789101112131415由于|x－y|max＝195－180＝15，所以事件F＝{|x－y|>15}是不可能事件，P(F)＝0.由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝.12345678910111213141511.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(

)A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析答案123456789101112131415解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选D.答案D12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.123456789101112131415解析答案解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是

×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，123456789101112131415所以x的可能取值是0～7，1234567891011121314159解析答案12345678910111213141514.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；解由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估计相应的概率为0.44.123456789101112131415解析答案(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；解选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1123456789101112131415解析答案(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.123456789101112131415解析答案15.(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：123456789101112131415日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；123456789101112131415解析答案(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.解称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为

，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为

.123456789101112131415解析答案返回第十二章概率、随机变量及其分布§12.2古典概型内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析审题路线图系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是

的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件

；(2)每个基本事件出现的可能性

.互斥基本事件只有有限个相等知识梳理1答案3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是

；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝

.4.古典概型的概率公式P(A)＝

.答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(

)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(

)(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型.(

)×××答案思考辨析(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

.(

)(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(

)(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(

)√√√答案1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)考点自测2解析答案12345解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，答案B2.(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

)C解析答案123453.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

)解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为

.故选C.C解析答案123454.(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________.解析答案123455.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________.解析从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.解析答案12345返回题型分类

深度剖析例1

袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.题型一基本事件与古典概型的判断解析答案(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为

，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为

，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为

，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.解析答案思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.思维升华下列试验中，是古典概型的个数为(

)①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3解析①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型.②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型.③符合古典概型的特点，是古典概型问题.B跟踪训练1解析答案例2

(1)(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(

)B题型二古典概型的求法解析答案(2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析答案设取出两只球颜色不同为事件A.(3)(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解析答案解①由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.1.本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，引申探究解析答案2.本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率.解析答案思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.思维升华将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；解由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型.记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.∵事件

包含的基本事件数m＝3×3＝9.跟踪训练2解析答案(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.解点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则

表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”.又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种.解析答案例3

从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为________kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.古典概型与统计的综合应用题型三解析答案思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.思维升华(2014·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；跟踪训练3解析答案所以样本中包含三个地区的个体数量分别是所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解析答案返回解设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.返回审题路线图系列典例(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率.审题路线图系列六审细节更完善解析答案温馨提醒返回审题路线图基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)审题路线图解析答案温馨提醒返回↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示解析答案温馨提醒返回↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)n<m＋2的情况较多，计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题)计算n≥m＋2的概率解析答案温馨提醒返回↓n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓解析答案温馨提醒返回(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个. [6分]又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，温馨提醒返回解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．故满足条件n<m＋2的事件的概率为温馨提醒返回(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善.如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4，即两球编号之和小于或等于4等；第(2)问，有先后顺序.(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏.同时要注意细节，如用列举法，第(1)问写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问写成(1,2)的形式，表示有序.温馨提醒返回(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题.如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件.在第(2)问中，由于不能将求事件n<m＋2的概率转化成先求n≥m＋2的概率，导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.返回思想方法

感悟提高1.古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法.3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.方法与技巧1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.2.概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一.失误与防范返回练出高分12345678910111213141.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(

)15A解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝

.答案D3.2015年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是(

)123456789101112131415D解析答案4.连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是(

)123456789101112131415解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个).A解析答案5.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案D1234567891011121314156.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是____.解析答案7.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是____.123456789101112131415解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种.解析答案1234567891011121314158.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.解析1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8……依次列出m的可能的值，知7出现次数最多.7解析答案9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；解由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种.a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，123456789101112131415解析答案(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.解|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.解由分层抽样定义知，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.解析答案(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率.解记“抽到小学、中学各一所”为事件A，123456789101112131415解析答案12345678910111213141511.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(

)解析答案123456789101112131415答案D解析如图所示，123456789101112131415解析答案123456789101112131415即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8，答案D12345678910111213141513.一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________.解析基本事件数为6×6＝36，编号之和为4的有：10种，解析答案12345678910111213141514.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；解方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况.解析答案(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？解甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.解析答案123456789101112131415(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由.解甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况.123456789101112131415解析答案15.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；123456789101112131415则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球.解析答案(2)求取球2次即终止的概率；解设事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，123456789101112131415解析答案(3)求甲取到白球的概率.解设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.解析答案123456789101112131415返回第十二章概率、随机变量及其分布§12.3几何概型内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

或

成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为

.2.几何概型中，事件A的概率的计算公式长度(面积体积)几何概型知识梳理1答案3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有

；(2)等可能性：每个结果的发生具有

.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.无限多个等可能性答案(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝

作为所求概率的近似值.答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(

)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(