河南省开封市五里河乡玉皇庙中学高三数学文月考试题含解析

河南省开封市五里河乡玉皇庙中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆命题为真命题C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假D．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是真命题参考答案：C【考点】四种命题．【分析】写出命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题，判断A正确；写出命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆命题，并判断真假性；根据复合命题的真假性判断C错误；写出命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题，并判断真假性．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，故A正确；对于B，命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆命题是“角α是锐角，则角α的终边在第一象限”，它是真命题，故B正确；对于C，若命题p∨q为假命题，则命题p与q一真一假或都为假命题，故C错误；对于D，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是：“若x＞|y|，则x＞y”，它是真命题，故D正确．故选：C．2.已知命题，命题,则（

）A．命题是假命题

B．命题是真命题C．命题是真命题

D．命题是假命题参考答案：C略3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为：=，故④不正确．故选：C．4.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．5.已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A．15π B． C．π D．6π参考答案：A【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设球心为O，OF=x，则CF=，EF=，可得R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，求出x，可得R，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，∴x=∴R2=∴球的表面积为15π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．6.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B． C．2 D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形的面积公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．7.已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.【详解】当时，，令，则；，则，∴函数在单调递增，在单调递减.∴函数在处取得极大值为，∴时，的取值范围为，∴又当时，令，则，即，∴综上所述，的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.8.等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=﹣5，S9=﹣45，则a4的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：C9.已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点．若，则双曲线的离心率为

（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.如果执行下面的程序框图，那么输出的

（）Ａ．2550

Ｂ．-2550

Ｃ．2548

Ｄ．-2552参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝

．（用数值表示）参考答案：试题分析：由已知得，从而由三角函数的定义可知，从而＝．故答案为：．考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．12.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为

▲

．参考答案：略13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.参考答案：0.98平均正点率的估计值.

14.数列是以1024为首项，为公比的等比数列，则数列的前n项和的最大值为

参考答案：略15.（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是

参考答案：16..动点在区域上运动，则的范围

。参考答案：略17.若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．参考答案：【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为Cn2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，.已知.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.参考答案：（1）证明：连接交于点

又是菱形

而4分

⊥面----------------------------------5分略19.已知,0<β<α<π.（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。参考答案：解：（1）|－|2＝2，即(－)2=2-2·+2=2.又因为2=2=||2=||2=1,所以2-2·=2,即·=0,故⊥.（2）因为=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以，由此得cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1得,sinα=sinβ=,而α>β,所以，α＝，β＝．

略20.

设A、B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）过点做两条相互垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为CD、EF，设CD、EF的弦中点分别为M、N，求证：直线MN恒过一个定点.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.参考答案：略21.如图，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求证：；（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1），，且是等腰直角三角形，平面中，，，可得，即底面，底面，、是平面内的相交直线，平面平面，（2）解法一：几何法如图，过点作，垂足为，连接，，，，，平面，平面，结合且，可得平面是在平面内的射影，可得就是直线与平面所成的角.中，，中，，，，可得因此，在中，即直线与平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以：

设平面的一个法向量为，由可取设直线与平面所成角为，则.22.已知函数（为自然对数的底数）（1）求的最小值;(2)设不等式的解集为P，且,求实数的取值范围.参考答案：.解:（1）令，解得；令，解得………3分

从而在内单调递减，内单调递增.所以，当时取得最小值1.